Kezdőlap


Feladat:	669. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Augusztinovicz Fülöp , Battha László , Bodoky Péter , Bor Zsolt , Diósi Lajos , Dombi József , Tegze Judit
Füzet:	1967/december, 230 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 669. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Osszuk fel a láncot $Δ l$ ívhosszúságú részekre (1. ábra). Erre az ívre egy $P_{e}$ nagyságú erő hat. Mivel $q$ kicsi, a lánc többi részének ezen $Δ l$ hosszúságú szakaszra gyakorolt hatását $Q$ mellett el lehet hagyni. Coulomb törvénye értelmében $(F = k \frac{e_{1} e_{2}}{r^{2}}$ , $k$ függ az egységrendszertől, CGS-ben $k = 1$ , és Giorgi rendszerben $k = \frac{1}{4 π ε_{0}})$ , a $Q$ nagyságú töltés ezen szakaszra

\begin{matrix} P_{e} = k \frac{q \frac{Δ l}{2 π R} Q}{R^{2}} erővel hat, \end{matrix}

ahol

q \frac{Δ l}{2 π R}

Δ l

szakaszon levő töltés.

Ezzel az erővel tart egyensúlyt a

P

feszítőerő. Feltételezve, hogy az ív kicsi, hasonló háromszögekből adódik, hogy

\begin{matrix} \frac{P}{P_{e}} = \frac{R}{Δ l}, innen P = P_{e} \frac{R}{Δ l}, azaz P = k \frac{q Q}{2 π R^{2}} . \end{matrix}

Ekkora erő feszíti a láncot.

Augusztinovicz Fülöp (Sopron, Széchenyi g. IV. o. t.)

II. Megoldás. Felezzük meg a kört átmérője mentén, és osszuk fel az átmérőt

h

nagyságú darabokra. Az ívhez tartozó sugár átmérővel bezárt szöge legyen

α

(2. ábra). Ekkor, ha az ív nem túl nagy,

i = \frac{h}{sin α}

hosszúságú, és ezen

q \frac{i}{2 R π}

töltés van.
Coulomb törvénye alapján az ívre ható erő

\begin{matrix} P_{i} = k \frac{Q q \frac{i}{2 R π}}{R^{2}} . \end{matrix}

Ezen erők összegének kell egyensúlyt tartania a feszítőerőkkel. Az ábrán látható, hogy az erők

P''_{i}

vízszintes komponensei szimmetria meggondolásokból összegezéskor kiesnek, a függőleges komponensekre pedig

2 P = Σ P'_{1}

összefüggés áll fenn.
Mivel

\begin{matrix} P'_{i} = P_{i} sin α = k \frac{Q q \frac{i}{2 R π}}{R^{2}} \frac{h}{i} = k \frac{Q q h}{2 π R^{3}} \end{matrix}

az összegezést elvégezve:

\begin{matrix} 2 P = k \frac{Q q 2 R}{2 π R^{3}}, P = k \frac{Q q}{2 π R^{2}} . \end{matrix}

Tegze Judit (Bp., Kölcsey F. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A feladat megoldása analóg azzal, mikor egy kör alakú edényben

\begin{matrix} P = \frac{k \frac{Q q}{R^{2}}}{2 R π} \end{matrix}

nyomású folyadék van, és a kerületi feszítőerőt keressük.

III. megoldás. A láncot a Coulomb-féle erők tágítani igyekeznek. Ezek az erők sugárirányúak, és sugárirányú komponensük, azaz abszolút értékük összege

\begin{matrix} P' = k \frac{Q q}{R^{2}} . \end{matrix}

Ha lánc

Δ R

-rel kitágul, akkor a végzett munka

\begin{matrix} L = P' Δ R = k \frac{Q q}{R^{2}} Δ R . \end{matrix}

(1)

Ezzel a

P'

erővel tart egyensúlyt a láncban a feszítőerő,

P

. Tehát a munkát felírhatjuk úgy, mintha a

P

erő végezte volna. Mivel a

P

irányban a nyúlás

2 π Δ R

, a munka

\begin{matrix} L = P 2 π Δ R . \end{matrix}

(2)

Az (1) -et (2) egyenletből

\begin{matrix} P = \frac{k Q q}{2 π R^{2}} . \end{matrix}

Diósi Lajos (Bp., Apáczai Csere J. g. III. o. t.)