Feladat: 666. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Jung József 
Füzet: 1967/november, 176 - 178. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gördülés vízszintes felületen, Tökéletesen rugalmas ütközések, Forgási energia, Mozgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/február: 666. fizika feladat

Vízszintes asztallapon álló, r=5 cm rádiuszú, m=100 g tömegű golyónak nekigurítunk v0=280 cm/s sebességgel egy ugyanolyan golyót. Hogyan folyik le a mozgás? A golyók és az asztallap között a csúszó súrlódási együttható a sebességtől függetlenül μ=0,02. Az ütközés teljesen rugalmas, centrális; a golyók közötti súrlódás és gördülő ellenállás elhanyagolható. g=1000 cm/s2. Vizsgáljuk meg az energiaviszonyokat. (Lásd az 1966. évi Eötvös-verseny 1. feladatát!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ütközés előtt az 1. golyó középpontja v0 sebességgel halad, és ez a golyó ω=v0/r szögsebességgel forog középpontja körül. Forgásának ωr kerületi sebessége v0, a golyó simán gurul. A 2. golyó középpontja áll, és forgásának szögsebessége 0.

 
 
1. ábra
 

Közvetlenül a rugalmas ütközés után a középpontok sebessége felcserélődik: az 1. golyó középpontja megáll, a 2. golyó középpontja viszont v0 sebességgel indul el. A forgások szögsebessége első pillanatban még megmarad. Az 1. golyó ωr kerületi sebességgel forog, miközben középpontja áll, ezért az érintkezési pontban μmg előre mutató súrlódási erő lép fel (1. ábra). A középpontban hozzáveszünk ±μmg erőket. Közülük a jobb oldali gyorsítja a golyó középpontját μg gyorsulással, tehát az 1. golyó, amely pillanatnyilag megállt, egyenletesen gyorsuló mozgást kezd végezni, amelynek sebessége:
v1=μgt.(1)
A hozzávett két erő közül a bal oldali a súrlódási erővel együtt μmgr forgatónyomatékot ad, amely fékezi a forgást β=μmgr/I szöggyorsulással (I a tehetetlenségi nyomaték); a kerületi pont lineáris gyorsulása βr=μmgr2/I. A középponthoz viszonyított forgás kerületi sebessége lassul:
v0-μgI/mr2t.(2)
 
 
2. ábra
 

A középpont mozgásának gyorsulása és a kerületi sebesség fékeződése addig tart, amíg (1) és (2) értéke egyenlő nem lesz (2. ábra):
μgt0=v0-μgI/mr2t0.
A fékeződés t0 időtartama ebből az egyenletből:
t0=v0μgI/mr21+I/mr2.(3)
Ezután az 1. golyó simán gurul tovább, középpontjának sebessége és kerületi sebessége egyező, függetlenül μ-től:
v11=v0I/mr21+I/mr2.(4)

Közvetlenül az ütközés után a 2. golyó középpontja v0 sebességgel halad, miközben a középpont körüli forgás 0. A golyó köszörül, a súrlódási erő hátrafelé irányul, a középpontban hozzávett ±μmg erők közül a bal oldali lassítja a középpont haladását, ezért a 2. golyó középpontjának haladási sebessége:
v2=v0-μgt.(5)
A középpont körüli forgás gyorsul és a kerületi pont sebessége
μgI/mr2t.(6)
A középpont haladásának lassulása és a forgás gyorsulása addig tart, amíg a sebességek egyenlővé nem válnak. Ennek időpontja, az (5) és (6) egyenlővé tevéséből adódó egyenlet megoldása szerint egyezik a (3) által t0-ra kapott eredménnyel. Ezután a 2. golyó is simán gördülve gurul tovább
v22=v011+I/mr2(7)
sebességgel.
Feladatunk számadatai szerint az 1. golyó középpontjának gyorsulása és a 2. golyó középpontjának lassulása 20cm/s2, a forgást lassító és gyorsító forgatónyomatékok 104dincm, az ehhez tartozó szöggyorsulások (mivel gömbnél I=0,4mr2) β=10s-2, a forgás kerületi sebességének lassulása, illetve gyorsulása 50cm/s2, a végállapot elérésének ideje (3) szerint t0=4 s és a golyók végső sebességei (4) és (7) szerint v11=80cm/s, v22=200cm/s. A végsebességek függetlenek a súrlódási együtthatótól. Bár a 2. golyó utánairamodik az 1. golyónak, sohasem éri el, és távolságuk mindig nagyobb lesz. Kiszámíthatjuk a sima gurulásig megtett utat is: az 1. golyónál μgt02/2=160cm, a 2. golyónál v0t0-μgt02/2=960cm.
 
 
3. ábra
 

A haladó mozgás kinetikus energiája 0,5mv02. A forgáshoz tartozó mozgási energia 0,5ω2I=0,5v2I/r2, ahol v a kerületi sebesség; gömbnél I=0,4mr2, és így a forgáshoz tartozó mozgási energia 0,2mv2. Az ütközés előtt az 1. golyó mozgási energiája 0,5mv02+0,2mv02=0,7mv02, illetve 3920000+1568000= =5488000erg; a 2. golyónak semmiféle mozgási energiája sincs (3. ábra). Közvetlenül az ütközés után az 1. golyónak megmarad a 0,2mv02 forgásból származó mozgási energiája, de a haladó mozgáshoz tartozó 0,5mv02-et átadta a 2. golyónak, mint haladó mozgásának kinetikus energiáját. A végállapotban az 1. golyónak haladásból 2mv02/49=0,0408mv02=320000erg, forgásból 4mv02/245=0,0163mv02=128000erg, összesen 2mv02/35=0,0571mv02=448000erg mozgási energiája van. A 2. golyó mozgási energiája a haladásból 25mv02/98=0,2551mv02=2000000erg, forgásból 5mv02/49=0,1020mv02=800000erg, összesen 5mv02/14=0,3571mv02=2800000erg. A végállapotban a két golyó együttes mozgási energiája a haladásból 29mv02/98=0,2961mv02=2320000erg, a forgásból 29mv02/245=0,1181mv02=928000erg, összesen 29mv02/70=0,4142mv02=3248000erg. Hővé alakult 2mv02/7=0,2858mv02=2240000erg, az összes mozgási energia 20/49-ed része.
 
Jung József (Szeged, Radnóti g. III. o. t.)