Kezdőlap


Feladat:	666. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jung József
Füzet:	1967/november, 176 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Tökéletesen rugalmas ütközések, Forgási energia, Mozgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 666. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ütközés előtt az 1. golyó középpontja $v_{0}$ sebességgel halad, és ez a golyó $ω = v_{0} / r$ szögsebességgel forog középpontja körül. Forgásának $ω r$ kerületi sebessége $v_{0}$ , a golyó simán gurul. A 2. golyó középpontja áll, és forgásának szögsebessége $0$ .

1. ábra

Közvetlenül a rugalmas ütközés után a középpontok sebessége felcserélődik: az 1. golyó középpontja megáll, a 2. golyó középpontja viszont

v_{0}

sebességgel indul el. A forgások szögsebessége első pillanatban még megmarad. Az 1. golyó

ω r

kerületi sebességgel forog, miközben középpontja áll, ezért az érintkezési pontban

μ m g

előre mutató súrlódási erő lép fel (1. ábra). A középpontban hozzáveszünk

\pm μ m g

erőket. Közülük a jobb oldali gyorsítja a golyó középpontját

μ g

gyorsulással, tehát az 1. golyó, amely pillanatnyilag megállt, egyenletesen gyorsuló mozgást kezd végezni, amelynek sebessége:

\begin{matrix} v_{1} = μ g t . \end{matrix}

(1)

A hozzávett két erő közül a bal oldali a súrlódási erővel együtt

μ m g r

forgatónyomatékot ad, amely fékezi a forgást

β = μ m g r / I

szöggyorsulással (

I

a tehetetlenségi nyomaték); a kerületi pont lineáris gyorsulása

β r = μ m g r^{2} / I

. A középponthoz viszonyított forgás kerületi sebessége lassul:

\begin{matrix} v_{0} - \frac{μ g}{I / m r^{2}} \cdot t . \end{matrix}

(2)

2. ábra

A középpont mozgásának gyorsulása és a kerületi sebesség fékeződése addig tart, amíg (1) és (2) értéke egyenlő nem lesz (2. ábra):

\begin{matrix} μ g t_{0} = v_{0} - \frac{μ g}{I / m r^{2}} \cdot t_{0} . \end{matrix}

A fékeződés

t_{0}

időtartama ebből az egyenletből:

\begin{matrix} t_{0} = \frac{v_{0}}{μ g} \cdot \frac{I / m r^{2}}{1 + I / m r^{2}} . \end{matrix}

(3)

Ezután az 1. golyó simán gurul tovább, középpontjának sebessége és kerületi sebessége egyező, függetlenül

μ

-től:

\begin{matrix} v_{11} = v_{0} \cdot \frac{I / m r^{2}}{1 + I / m r^{2}} . \end{matrix}

(4)

Közvetlenül az ütközés után a 2. golyó középpontja

v_{0}

sebességgel halad, miközben a középpont körüli forgás

0

. A golyó köszörül, a súrlódási erő hátrafelé irányul, a középpontban hozzávett

\pm μ m g

erők közül a bal oldali lassítja a középpont haladását, ezért a 2. golyó középpontjának haladási sebessége:

\begin{matrix} v_{2} = v_{0} - μ g t . \end{matrix}

(5)

A középpont körüli forgás gyorsul és a kerületi pont sebessége

\begin{matrix} \frac{μ g}{I / m r^{2}} \cdot t . \end{matrix}

(6)

A középpont haladásának lassulása és a forgás gyorsulása addig tart, amíg a sebességek egyenlővé nem válnak. Ennek időpontja, az (5) és (6) egyenlővé tevéséből adódó egyenlet megoldása szerint egyezik a (3) által

t_{0}

-ra kapott eredménnyel. Ezután a 2. golyó is simán gördülve gurul tovább

\begin{matrix} v_{22} = v_{0} \cdot \frac{1}{1 + I / m r^{2}} \end{matrix}

(7)

sebességgel.
Feladatunk számadatai szerint az 1. golyó középpontjának gyorsulása és a 2. golyó középpontjának lassulása

20 {cm/s}^{2}

, a forgást lassító és gyorsító forgatónyomatékok

10^{4} din \cdot cm

, az ehhez tartozó szöggyorsulások (mivel gömbnél

I = 0, 4 m r^{2}

)

β = 10 s^{- 2}

, a forgás kerületi sebességének lassulása, illetve gyorsulása

50 {cm/s}^{2}

, a végállapot elérésének ideje (3) szerint

t_{0} = 4

s és a golyók végső sebességei (4) és (7) szerint

v_{11} = 80 cm/s

v_{22} = 200 cm/s

. A végsebességek függetlenek a súrlódási együtthatótól. Bár a 2. golyó utánairamodik az 1. golyónak, sohasem éri el, és távolságuk mindig nagyobb lesz. Kiszámíthatjuk a sima gurulásig megtett utat is: az 1. golyónál

μ g t_{0}^{2} / 2 = 160 cm

, a 2. golyónál

v_{0} t_{0} - μ g t_{0}^{2} / 2 = 960 cm

3. ábra

A haladó mozgás kinetikus energiája

0, 5 m v_{0}^{2}

. A forgáshoz tartozó mozgási energia

0, 5 ω^{2} I = 0, 5 v^{2} I / r^{2}

, ahol

v

a kerületi sebesség; gömbnél

I = 0, 4 m r^{2}

, és így a forgáshoz tartozó mozgási energia

0, 2 m v^{2}

. Az ütközés előtt az 1. golyó mozgási energiája

0, 5 m v_{0}^{2} + 0, 2 m v_{0}^{2} = 0, 7 m v_{0}^{2}

, illetve

3 920 000 + 1 568 000 =

= 5 488 000 erg

; a 2. golyónak semmiféle mozgási energiája sincs (3. ábra). Közvetlenül az ütközés után az 1. golyónak megmarad a

0, 2 m v_{0}^{2}

forgásból származó mozgási energiája, de a haladó mozgáshoz tartozó

0, 5 m v_{0}^{2}

-et átadta a 2. golyónak, mint haladó mozgásának kinetikus energiáját. A végállapotban az 1. golyónak haladásból

2 m v_{0}^{2} / 49 = 0, 0408 m v_{0}^{2} = 320 000 erg

, forgásból

4 m v_{0}^{2} / 245 = 0, 0163 m v_{0}^{2} = 128 000 erg

, összesen

2 m v_{0}^{2} / 35 = 0, 0571 m v_{0}^{2} = 448 000 erg

mozgási energiája van. A 2. golyó mozgási energiája a haladásból

25 m v_{0}^{2} / 98 = 0, 2551 m v_{0}^{2} = 2 000 000 erg

, forgásból

5 m v_{0}^{2} / 49 = 0, 1020 m v_{0}^{2} = 800 000 erg

, összesen

5 m v_{0}^{2} / 14 = 0, 3571 m v_{0}^{2} = 2 800 000 erg

. A végállapotban a két golyó együttes mozgási energiája a haladásból

29 m v_{0}^{2} / 98 = 0, 2961 m v_{0}^{2} = 2 320 000 erg

, a forgásból

29 m v_{0}^{2} / 245 = 0, 1181 m v_{0}^{2} = 928 000 erg

, összesen

29 m v_{0}^{2} / 70 = 0, 4142 m v_{0}^{2} = 3 248 000 erg

. Hővé alakult

2 m v_{0}^{2} / 7 = 0, 2858 m v_{0}^{2} = 2 240 000 erg

, az összes mozgási energia

20 / 49

-ed része.

Jung József (Szeged, Radnóti g. III. o. t.)