Feladat: 665. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Büttner György ,  Jung József ,  Simon János ,  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 1967/november, 175 - 176. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kötelek (láncok) dinamikája, Kötélsúrlódás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/február: 665. fizika feladat

Asztal sarkán elhelyezett csigán l0 hosszúságú kötél van átvetve úgy, hogy l1<l0 függőlegesen lóg, a maradék az asztalon fekszik. A kötél és az asztal súrlódási együtthatója μ. Mi a mozgás megindulásának feltétele és mekkora lesz a kötél sebessége, mikor elhagyja a csigát?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a kötél egységnyi hosszának tömege m. Az asztalról lelógó kötél súlya G=l1mg, a súrlódási erő Ps=(l0-l1)μmg. A megindulás feltétele, hogy GPs teljesüljön. Ebből átrendezve

l1l01+μ.(1)

 

A kötél kérdezett sebességét a legkönnyebben az energiamegmaradás elve alapján számíthatjuk ki.
A helyzeti energia megváltozása a súlypont süllyedésének következménye. Az energia kezdeti értéke
E1=-mgl1(l1/l2)=-mgl12/2,
végső értéke
E2=-mgl02/2,
ha az asztal lapját tekintjük a vonatkoztatási szintnek. Az energianyereség
ΔE=mg2(l02-l12).
A mozgás során ez súrlódási hővé, ill. mozgási energiává alakul:
Ekin=l0mv2/2,Esurl=Ps(l0-l1).
A súrlódási erő a mozgás folyamán egyenletesen változik, átlagértéke
Psátl=(l0-l1)μmg/2,
evvel számolva megkapjuk a súrlódási veszteséget. Tehát a
ΔE=Ekin+Esurl
egyenletből a fönti kifejezések behelyettesítésével v-t kifejezhetjük:
v=g(l0-l1)[l1+l0-μ(l0-l1)]/l0.

Ha a kötél saját súlya alatt éppen megindul, vagyis (1)-ben az egyenlőség jele érvényes, a sebesség
vhatár=gl0μ(2-μ)1+μ.

Simon János (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)
 

II. megoldás. A kötél sebességét a mozgásegyenletek segítségével is kiszámíthatjuk. Minthogy a gyorsító erő a mozgás folyamán egyenletesen változik, számolhatunk ennek átlagával, mely a kezdeti és végső érték számtani közepe lesz. A nehézségi erő átlaga
Gátl=mgl1+l02,
a súrlódási erő átlaga
Psátl=mgμl0-l12.
A gyorsító erő
Pgy=mg2[l1(1+μ)+l0(1-μ)],
a gyorsulás a=Pgy/m, innen, alkalmazva a v=2as összefüggést, átrendezéssel kapjuk a megoldást.
 
Jung József (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)