Kezdőlap


Feladat:	665. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Büttner György , Jung József , Simon János , Woynarovich Ferenc
Füzet:	1967/november, 175 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kötelek (láncok) dinamikája, Kötélsúrlódás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 665. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a kötél egységnyi hosszának tömege $m$ . Az asztalról lelógó kötél súlya $G = l_{1} m g$ , a súrlódási erő $P_{s} = (l_{0} - l_{1}) μ m g$ . A megindulás feltétele, hogy $G \geq P_{s}$ teljesüljön. Ebből átrendezve

\begin{matrix} l_{1} \geq \frac{l_{0}}{1 + μ} . \end{matrix}

(1)

A kötél kérdezett sebességét a legkönnyebben az energiamegmaradás elve alapján számíthatjuk ki.
A helyzeti energia megváltozása a súlypont süllyedésének következménye. Az energia kezdeti értéke

\begin{matrix} E_{1} = - m g l_{1} (l_{1} / l_{2}) = - m g l_{1}^{2} / 2, \end{matrix}

végső értéke

\begin{matrix} E_{2} = - m g l_{0}^{2} / 2, \end{matrix}

ha az asztal lapját tekintjük a vonatkoztatási szintnek. Az energianyereség

\begin{matrix} Δ E = \frac{m g}{2} (l_{0}^{2} - l_{1}^{2}) . \end{matrix}

A mozgás során ez súrlódási hővé, ill. mozgási energiává alakul:

\begin{matrix} E_{kin} & = l_{0} m v^{2} / 2, \\ E_{surl} & = P_{s} (l_{0} - l_{1}) . \end{matrix}

A súrlódási erő a mozgás folyamán egyenletesen változik, átlagértéke

\begin{matrix} P_{s} \end{matrix}

evvel számolva megkapjuk a súrlódási veszteséget. Tehát a

\begin{matrix} Δ E = E_{kin} + E_{surl} \end{matrix}

egyenletből a fönti kifejezések behelyettesítésével

v

-t kifejezhetjük:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{g (l_{0} - l_{1}) [l_{1} + l_{0} - μ (l_{0} - l_{1})] / l_{0}} . \end{matrix}

Ha a kötél saját súlya alatt éppen megindul, vagyis (1)-ben az egyenlőség jele érvényes, a sebesség

\begin{matrix} v_{határ} = \sqrt[]{g l_{0} \frac{μ (2 - μ)}{1 + μ}} . \end{matrix}

Simon János (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)

II. megoldás. A kötél sebességét a mozgásegyenletek segítségével is kiszámíthatjuk. Minthogy a gyorsító erő a mozgás folyamán egyenletesen változik, számolhatunk ennek átlagával, mely a kezdeti és végső érték számtani közepe lesz. A nehézségi erő átlaga

\begin{matrix} G_{átl} = m g \frac{l_{1} + l_{0}}{2}, \end{matrix}

a súrlódási erő átlaga

\begin{matrix} P_{s} \end{matrix}

A gyorsító erő

\begin{matrix} P_{gy} = \frac{m g}{2} [l_{1} (1 + μ) + l_{0} (1 - μ)], \end{matrix}

a gyorsulás

a = P_{gy} / m

, innen, alkalmazva a

v = \sqrt[]{2 a s}

összefüggést, átrendezéssel kapjuk a megoldást.

Jung József (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)