Feladat: 654. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy Zsigmond ,  Steindl Rezső ,  Takács László ,  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 1967/szeptember, 45 - 46. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/január: 654. fizika feladat

Egy harmonikus rezgőmozgás esetén ismerjük a gyorsulás és a sebesség legnagyobb értékét (amax,vmax). Mennyi idő telik el, míg a rezgő test a szélső helyzetből indulva olyan helyzetbe kerül, amelyben
a) a sebesség nagysága vmax/2,
b) a gyorsulás nagysága amax/2?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy harmonikus rezgőmozgás esetén, ha az időt a nyugalmi helyzeten való áthaladástól számítjuk,

v=Acosωt,ésa=-Aω2sinωt.
Ezekből vmax=Aω és |amax|=Aω2. A két egyenletet elosztva:
ω=amaxvmax.(1)

a) Azt az időt keressük, mikor
|v|=|Aωcosωt|=vmax/2=Aω/2.
Ezért a következő két egyenlet gyökei adják a megoldást.
cosωt=1/2,illetvecosωt=-1/2,
Ezek megoldásai
ωt=±π/3+2kπ,ωt=±2π/3+2kπ(k=0,1,2,...)
A két egyenlet megoldásaiból és (1)-ből adódik
t'v=(3k±13)πvmaxamax.(2)
Mivel a szélső helyzettől mért időt kell számolnunk, ezért el kell az egészet egy negyed periódussal, azaz π/2-vel tolni, így a kérdezett idő
t'v=(6k±16)πvmaxamax(k=0,1,2,...).
Ha figyelembe vesszük, hogy a szélső helyzettől számított időre vagyunk kíváncsiak, és a sinus görbe a cosinus görbének negyed periódussal való eltolásával származtatható, a kérdezett idők a következő egyenlet gyökei:|cosωt|=1/2. Ennek megoldása (2), azaz
ta=(3k±13)πvmaxamax(k=0,1,2,...).
Steindl Rezső (Zirc, Gimnázium, III. o. t.)