Kezdőlap


Feladat:	654. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Zsigmond , Steindl Rezső , Takács László , Woynarovich Ferenc
Füzet:	1967/szeptember, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 654. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy harmonikus rezgőmozgás esetén, ha az időt a nyugalmi helyzeten való áthaladástól számítjuk,

\begin{matrix} v = A cos ω t, és a = - A ω^{2} sin ω t . \end{matrix}

Ezekből

v_{max} = A ω

és

| a_{max} | = A ω^{2}

. A két egyenletet elosztva:

\begin{matrix} ω = \frac{a_{max}}{v_{max}} . \end{matrix}

(1)

a) Azt az időt keressük, mikor

\begin{matrix} | v | = | A ω cos ω t | = v_{max} / 2 = A ω / 2. \end{matrix}

Ezért a következő két egyenlet gyökei adják a megoldást.

\begin{matrix} cos ω t = 1 / 2, illetve cos ω t = - 1 / 2, \end{matrix}

Ezek megoldásai

\begin{matrix} ω t = \pm π / 3 + 2 k π, ω t = \pm 2 π / 3 + 2 k π (k = 0, 1, 2, ...) \end{matrix}

A két egyenlet megoldásaiból és (1)-ből adódik

\begin{matrix} t'_{v} = (\frac{3 k \pm 1}{3}) \frac{π v_{max}}{a_{max}} . \end{matrix}

(2)

Mivel a szélső helyzettől mért időt kell számolnunk, ezért el kell az egészet egy negyed periódussal, azaz

π / 2

-vel tolni, így a kérdezett idő

\begin{matrix} t'_{v} = (\frac{6 k \pm 1}{6}) \frac{π v_{max}}{a_{max}} (k = 0, 1, 2, ...) . \end{matrix}

Ha figyelembe vesszük, hogy a szélső helyzettől számított időre vagyunk kíváncsiak, és a sinus görbe a cosinus görbének negyed periódussal való eltolásával származtatható, a kérdezett idők a következő egyenlet gyökei:

| cos ω t | = 1 / 2

. Ennek megoldása (2), azaz

\begin{matrix} t_{a} = (\frac{3 k \pm 1}{3}) \frac{π v_{max}}{a_{max}} (k = 0, 1, 2, ...) . \end{matrix}

Steindl Rezső (Zirc, Gimnázium, III. o. t.)