Feladat: 574. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Cseh József ,  Diósi Lajos ,  Kádas Sándor ,  Kottra Gábor ,  Külvári István ,  Márkus András ,  Marossy Ferenc ,  Szalay Sándor ,  Szilágyi László 
Füzet: 1966/szeptember, 36 - 37. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felhajtóerő, Munka, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/január: 574. fizika feladat

Mekkora munkát végez a búvárhajó, amikor egy γ1 fajsúlyú gázzal töltött, V1 térfogatú összenyomható léggömböt lehúz a tengerfenékre? A tenger elég mély, a közegellenállástól tekintsünk el. Feltételezzük, hogy a léggömb anyaga kibírja a térfogatváltozást, és az ehhez szükséges munkát ne vegyük figyelembe.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A léggömb súlya

Ps=V1γ1.
A felhajtóerő
PF=Vγvíz.
V a gömbnek a víz alatti mélységtől (h-tól) függő térfogata. A Boyle-Mariotte-törvény szerint
(p1+γvízh)V=p1V1.
Tehát
V=p1V1p1+γvízh.
Ezért
PF=p1V1γvízp1+γvízh.
A búvárhajó által kifejtett húzóerő
P=PF-Ps=p1V1γvízp1+γvízh-V1γ1.
Ez maximális h=0 esetén
Pmax=V1(γvíz-γ1).
P erő γ növekedése miatt a mélységgel csökken, h=H esetén már 0 értékű lehet. A kritikus mélység
H=p1γvíz-γ1γ1γvíz.
Itt a hajó elengedheti a léggömböt, tovább az magától lesüllyed.
A P erő H úton végzett munkájának meghatározása magasabb matematikai ismeretekkel lehetséges (volt, aki szummációs vagy közelítő eljárást alkalmazott). Pontosan:
L=0H(p1V1γvízp1+γvízh-V1γ1)dh=p1V1lnγvízγ1-p1V1γvíz-γ1γvíz.

 Diósi Lajos (Budapest, Apáczai Csere J. g. II. o. t.)
 
Fenti a helyes megoldás. Ha viszont (mint azt egyes megoldók tették) az átlagos erőt, Pmax2-t szorozzuk a H úttal
Lk=p1V1(γvíz-γ1)22γ1γvíz
eredményre jutunk.
A két eredmény közötti eltérés tetemes lehet, ennek oka abban van, hogy az erő nem változik a mélységgel lineárisan, tehát nem lehet a számtani középpel számolni.