Kezdőlap


Feladat:	574. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cseh József , Diósi Lajos , Kádas Sándor , Kottra Gábor , Külvári István , Márkus András , Marossy Ferenc , Szalay Sándor , Szilágyi László
Füzet:	1966/szeptember, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felhajtóerő, Munka, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 574. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A léggömb súlya

\begin{matrix} P_{s} = V_{1} γ_{1} . \end{matrix}

A felhajtóerő

\begin{matrix} P_{F} = V γ_{víz} . \end{matrix}

V

a gömbnek a víz alatti mélységtől (

h

-tól) függő térfogata. A Boyle-Mariotte-törvény szerint

\begin{matrix} (p_{1} + γ_{víz} \cdot h) V = p_{1} V_{1} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} V = \frac{p_{1} V_{1}}{p_{1} + γ_{víz} \cdot h} . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} P_{F} = \frac{p_{1} V_{1} γ_{víz}}{p_{1} + γ_{víz} \cdot h} . \end{matrix}

A búvárhajó által kifejtett húzóerő

\begin{matrix} P = P_{F} - P_{s} = \frac{p_{1} V_{1} γ_{víz}}{p_{1} + γ_{víz} \cdot h} - V_{1} γ_{1} . \end{matrix}

Ez maximális

h = 0

esetén

\begin{matrix} P_{max} = V_{1} (γ_{víz} - γ_{1}) . \end{matrix}

P

erő

γ

növekedése miatt a mélységgel csökken,

h = H

esetén már

0

értékű lehet. A kritikus mélység

\begin{matrix} H = p_{1} \frac{γ_{víz} - γ_{1}}{γ_{1} γ_{víz}} . \end{matrix}

Itt a hajó elengedheti a léggömböt, tovább az magától lesüllyed.
A

P

erő

H

úton végzett munkájának meghatározása magasabb matematikai ismeretekkel lehetséges (volt, aki szummációs vagy közelítő eljárást alkalmazott). Pontosan:

\begin{matrix} L = \int_{0}^{H} (\frac{p_{1} V_{1} γ_{víz}}{p_{1} + γ_{víz} h} - V_{1} γ_{1}) d h = p_{1} V_{1} ln \frac{γ_{víz}}{γ_{1}} - p_{1} V_{1} \frac{γ_{víz} - γ_{1}}{γ_{víz}} . \end{matrix}

Diósi Lajos (Budapest, Apáczai Csere J. g. II. o. t.)

Fenti a helyes megoldás. Ha viszont (mint azt egyes megoldók tették) az átlagos erőt,

\frac{P_{max}}{2}

-t szorozzuk a

H

úttal

\begin{matrix} L_{k} = p_{1} V_{1} \frac{{(γ_{víz} - γ_{1})}^{2}}{2 γ_{1} γ_{víz}} \end{matrix}

eredményre jutunk.
A két eredmény közötti eltérés tetemes lehet, ennek oka abban van, hogy az erő nem változik a mélységgel lineárisan, tehát nem lehet a számtani középpel számolni.