Feladat: 497. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Diósi Lajos ,  Kugler Sándor ,  Roszival Miklós ,  Sváb Erzsébet ,  Vicsek Tamás 
Füzet: 1965/május, 236 - 237. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tömegközéppont helye, Pontrendszer helyzeti energiája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/január: 497. fizika feladat

Egy hosszúkás, 24 cm széles téglalap keresztmetszetű vályúban egy 20 cm átmérőjű 340 g tömegű és egy 10 cm átmérőjű, 200 g tömegű henger fekszik. A hengerek mindegyike hosszabb, mint a vályú hosszának fele. Milyen helyzetben legkisebb a helyzeti energiájuk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legtermészetesebb gondolat, hogy a hengerek hosszában, vízszintes tengellyel feküsznek egymáson a vályúban. Együttes helyzeti energiájuk akkor a legkisebb, ha közös súlypontjuk a lehető legalacsonyabban fekszik.

 
 

Ha az első henger rádiusza r1 és tömege m1, a másodiké pedig r2 és m2, akkor középpontjaik függőleges magasságkülönbsége:
h=(r1+r2)2-(2d-r1-r2)2=2d(r1+r2-d).
A közös súlypont O1 feletti magassága s, erre nézve érvényes:
s:(h-s)=m2:m1,innens=m2hm1+m2=2m2m1+m2d(r1+r2-d).


A közös súlypont magassága a vályú fenekétől mérve:
x=r1+s=r1+2m2m1+m2d(r1+r2-d).
Keressük, melyik esetben kisebb x. Ha a nagy átmérőjű és nehéz henger van alul, akkor r1=10 cm, m1=350 g, r2=5cm, m2=200g és x=1449=14,44cm. Ha a kis átmérőjű és könnyű henger van alul, akkor r1=5 cm, m1=200 g, r2=10 cm, m2=350 g és x=1259=12,55 cm. Látható, hogy a helyzeti energia akkor kisebb, ha a könnyebb, vékonyabb henger van alul.
 
Diósi Lajos (Bp., Apáczai Cs. g. I. o. t.)
 

Megjegyzések: 1. Bizonyára előfordulhat olyan méretezés, amely mellett jobb, ha a nehezebb, vastagabb henger van alul. Annak feltétele, hogy a közös súlypont szempontjából közömbös legyen, melyik henger van alul:
r1+2m2m1+m2d(r1+r2-d)=r2+2m1m2+m1d(r2+r1-d).
Ebből rendezve:
m2m1=2d(r1+r2-d)-(r1-r2)2d(r1+r2-d)+(r1-r2).
Ha m2/m1 e tört értékénél kisebb, akkor a 2-es indexű henger legyen felül, ha pedig nagyobb, akkor az 1-es indexű henger legyen felül, ha kisebb súlypont-magasságot akarunk elérni.
2. Ha a feladatunkban szereplő adatok mellett a nehezebb, vastagabb henger van alul, akkor a helyzeti energia nem a lehető legkisebb, de a berendezés magától mégsem képes átalakulni a kisebb energiájú elrendezésbe. Ilyen esetek a természetben máskor is előfordulnak.
 
Kugler Sándor (Bp., I. István g. I. o. t.)

3. Arra is lehet gondolni, hogy a hengereket alapköreikkel állítjuk a vályú fenekére, de ez csak akkor segít, ha a henger magassága kisebb alapkörének átmérőjénél. Viszont ebben az esetben a hengerek nem férnek el a vályú fenekén.
 
Vicsek Tamás (Bp., Radnóti g. III. o. t.)

4. Ha a hengerek nem túl hosszúak, akkor az egyik henger végének lebillentésével lejjebb vihetjük a közös súlypontot.
 
Sváb Erzsébet (Bp., Radnóti g. III. o. t.)

5. Ha a vályú két vége nyitott, akkor úgy is elhelyezhető a két henger, hogy egymás után feküsznek a vályú fenekén. Természetesen így fekszik a közös súlypont a legmélyebben, hiszen mélyebbre kerül, mint a nagy henger súlypontja. Ha a hengerek együttes hossza nagyobb volna a vályú hosszánál, akkor az egyik vagy másik henger kieshetne a vályúból.
 
Roszival Miklós (Esztergom, I. István g. III. o. t.)