Kezdőlap


Feladat:	497. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Diósi Lajos , Kugler Sándor , Roszival Miklós , Sváb Erzsébet , Vicsek Tamás
Füzet:	1965/május, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont helye, Pontrendszer helyzeti energiája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 497. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legtermészetesebb gondolat, hogy a hengerek hosszában, vízszintes tengellyel feküsznek egymáson a vályúban. Együttes helyzeti energiájuk akkor a legkisebb, ha közös súlypontjuk a lehető legalacsonyabban fekszik.

Ha az első henger rádiusza

r_{1}

és tömege

m_{1}

, a másodiké pedig

r_{2}

és

m_{2}

, akkor középpontjaik függőleges magasságkülönbsége:

\begin{matrix} h = \sqrt[]{{(r_{1} + r_{2})}^{2} - {(2 d - r_{1} - r_{2})}^{2}} = 2 \sqrt[]{d (r_{1} + r_{2} - d)} . \end{matrix}

A közös súlypont

O_{1}

feletti magassága

s

, erre nézve érvényes:

\begin{matrix} s : (h - s) = m_{2} : m_{1}, \\ innen s = \frac{m_{2} h}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \sqrt[]{d (r_{1} + r_{2} - d)} . \end{matrix}

A közös súlypont magassága a vályú fenekétől mérve:

\begin{matrix} x = r_{1} + s = r_{1} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \sqrt[]{d (r_{1} + r_{2} - d)} . \end{matrix}

Keressük, melyik esetben kisebb

x

. Ha a nagy átmérőjű és nehéz henger van alul, akkor

r_{1} = 10

cm,

m_{1} = 350

r_{2} = 5 cm

m_{2} = 200 g

és

x = 14 \frac{4}{9} = 14, 44 cm

. Ha a kis átmérőjű és könnyű henger van alul, akkor

r_{1} = 5

cm,

m_{1} = 200

r_{2} = 10

cm,

m_{2} = 350

g és

x = 12 \frac{5}{9} = 12, 55

cm. Látható, hogy a helyzeti energia akkor kisebb, ha a könnyebb, vékonyabb henger van alul.

Diósi Lajos (Bp., Apáczai Cs. g. I. o. t.)

Megjegyzések: 1. Bizonyára előfordulhat olyan méretezés, amely mellett jobb, ha a nehezebb, vastagabb henger van alul. Annak feltétele, hogy a közös súlypont szempontjából közömbös legyen, melyik henger van alul:

\begin{matrix} r_{1} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \sqrt[]{d (r_{1} + r_{2} - d)} = r_{2} + \frac{2 m_{1}}{m_{2} + m_{1}} \cdot \sqrt[]{d (r_{2} + r_{1} - d)} . \end{matrix}

Ebből rendezve:

\begin{matrix} \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{2 \sqrt[]{d (r_{1} + r_{2} - d)} - (r_{1} - r_{2})}{2 \sqrt[]{d (r_{1} + r_{2} - d)} + (r_{1} - r_{2})} . \end{matrix}

m_{2} / m_{1}

e tört értékénél kisebb, akkor a 2-es indexű henger legyen felül, ha pedig nagyobb, akkor az 1-es indexű henger legyen felül, ha kisebb súlypont-magasságot akarunk elérni.
2. Ha a feladatunkban szereplő adatok mellett a nehezebb, vastagabb henger van alul, akkor a helyzeti energia nem a lehető legkisebb, de a berendezés magától mégsem képes átalakulni a kisebb energiájú elrendezésbe. Ilyen esetek a természetben máskor is előfordulnak.

Kugler Sándor (Bp., I. István g. I. o. t.)

3. Arra is lehet gondolni, hogy a hengereket alapköreikkel állítjuk a vályú fenekére, de ez csak akkor segít, ha a henger magassága kisebb alapkörének átmérőjénél. Viszont ebben az esetben a hengerek nem férnek el a vályú fenekén.

Vicsek Tamás (Bp., Radnóti g. III. o. t.)

4. Ha a hengerek nem túl hosszúak, akkor az egyik henger végének lebillentésével lejjebb vihetjük a közös súlypontot.

Sváb Erzsébet (Bp., Radnóti g. III. o. t.)

5. Ha a vályú két vége nyitott, akkor úgy is elhelyezhető a két henger, hogy egymás után feküsznek a vályú fenekén. Természetesen így fekszik a közös súlypont a legmélyebben, hiszen mélyebbre kerül, mint a nagy henger súlypontja. Ha a hengerek együttes hossza nagyobb volna a vályú hosszánál, akkor az egyik vagy másik henger kieshetne a vályúból.

Roszival Miklós (Esztergom, I. István g. III. o. t.)