Feladat: 272. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fazekas P. ,  Kiss Gábor ,  Leporis Gy. ,  Makai E. ,  Mészáros György ,  Mészáros L. ,  Pálfi Gy. ,  Papp László ,  Peterle Cecilia 
Füzet: 1963/február, 88 - 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb egyenletesen változó mozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/szeptember: 272. fizika feladat

Egy vonat maximális gyorsulása α, maximális lassulása η. Mutassuk meg, hogy ha a két megálló távolsága s, akkor az indulástól a megállásig legalább [2s(α+η)αη]12 idő eltelte szükséges.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítanunk kell, hogy a T menetidőre fennáll a következő:

T[2s(α+β)αβ]1/2.
Tegyük fel, hogy a vonat T1 ideig a egyenletes gyorsulással mozog, majd b abszolút értékű egyenletes lassulással éppen az s út végén áll meg (T1+T2=T).

Ez esetben igaz, hogy aT122+bT222=s,

illetve aT12+bT22=2s. Szorzunk (1a+1b) -vel:
aT12b+T12+T22+bT22a=2s(1a+1b).
A maximális sebesség értékére érvényes kifejezést felhasználva (v=aT1=bT2) kapjuk:
T1T2+T12+T22+T1T2=2s(1a+1b),(T1+T2)2=T2=2s(1a+1b),T=[2s(1a+1b)]1/2.
Ez akkor a legkisebb, ha a és b maximális α ill. β értékeiket veszik fel.
Tmin=[2s(α+β)αβ]1/2, ha a vonat a gyorsulással addig gyorsul, amikor a maximális lassulással el kell kezdenie a fékezést, hogy az s út végén még megállhasson.
 
Papp László (Jászberény, Lehel g. IV. o. t.),
Kiss Gábor (Debrecen, Kossuth L. g. IV. o. t.)
megoldásai alapján.

 
Megjegyzések: 1. Legyen a mozgás folyamán olyan pályaszakasz, ahol a vonat egyenletesen mozog. Az idő és útszakaszok rendre T1 (gyorsulás), T2 (egyenletes mozgás), T3 (lassulás) ill. s1, s2, s3; (T1+T2+T3=T, s1+s2+s3=s). Az előbbiek alapján a gyorsuló és lassuló mozgásra
T12+2T1T3+T32=2(s1+s3)(α+β)αβ(I.)

Az egyenletes mozgás idejére
T2=s2v=s2αT1,innen2T1T2=2s2α(II.)T2=s2v=2βT3,innen2T2T3=2s2β.(III.)
A három egyenletet összeadva és mindkét oldalhoz T22-et hozzáadva
T12+T22+T32+2T1T2+2T1T3+2T2T3=2(s1+s2+s3)(α+β)αβ+T22,(T1+T2+T3)2=T2=2s(α+β)αβ+T22,T=[2s(α+β)αβ+T22]1/2>[2s(α+β)αβ]1/2,mivelT20.


A menetidőre valóban fennáll, hogy
T[2s(α+β)αβ]1/2.
Bizonyítanunk kell, hogy a T menetidőre fennáll a következő:
T[2s(α+β)αβ]1/2.
Tegyük fel, hogy a vonat T1 ideig a egyenletes gyorsulással mozog, majd b abszolút értékű egyenletes lassulással éppen az s út végén áll meg (T1+T2=T).

Ez esetben igaz, hogy aT122+bT222=s,

illetve aT12+bT22=2s. Szorzunk (1a+1b) -vel:
aT12b+T12+T22+bT22a=2s(1a+1b).
A maximális sebesség értékére érvényes kifejezést felhasználva (v=aT1=bT2) kapjuk:
T1T2+T12+T22+T1T2=2s(1a+1b),(T1+T2)2=T2=2s(1a+1b),T=[2s(1a+1b)]1/2.
Ez akkor a legkisebb, ha a és b maximális α ill. β értékeiket veszik fel.
Tmin=[2s(α+β)αβ]1/2, ha a vonat a gyorsulással addig gyorsul, amikor a maximális lassulással el kell kezdenie a fékezést, hogy az s út végén még megállhasson.
 
Papp László (Jászberény, Lehel g. IV. o. t.),
Kiss Gábor (Debrecen, Kossuth L. g. IV. o. t.)
megoldásai alapján.

 
Megjegyzések: 1. Legyen a mozgás folyamán olyan pályaszakasz, ahol a vonat egyenletesen mozog. Az idő és útszakaszok rendre T1 (gyorsulás), T2 (egyenletes mozgás), T3 (lassulás) ill. s1, s2, s3; (T1+T2+T3=T, s1+s2+s3=s). Az előbbiek alapján a gyorsuló és lassuló mozgásra
T12+2T1T3+T32=2(s1+s3)(α+β)αβ.(I.)

Az egyenletes mozgás idejére
T2=s2v=s2αT1,innen2T1T2=2s2α.(II.)T2=s2v=2βT3,innen2T2T3=2s2β.(III.)
A három egyenletet összeadva és mindkét oldalhoz T22-et hozzáadva
T12+T22+T32+2T1T2+2T1T3+2T2T3=2(s1+s2+s3)(α+β)αβ+T22,(T1+T2+T3)2=T2=2s(α+β)αβ+T22,T=[2s(α+β)αβ+T22]1/2>[2s(α+β)αβ]1/2,mivelT20.


A menetidőre valóban fennáll, hogy
T[2s(α+β)αβ]1/2.

 

2. A sebesség-idő grafikonból szemléletesen is látszik, hogy az a vonat, amely egyes szakaszokon egyenletes sebességgel, vagy változó (de α ill. β-nál kisebb) gyorsulással halad, csak kevesebb utat tehet meg (tehát adott út megtétele több időbe kerül) mint a fenti esetben. A megtett utat a sebesség-idő grafikon alatti terület adja.
 
Mészáros György (Bp., Piarista g. III. o. t.)