Kezdőlap


Feladat:	272. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fazekas P. , Kiss Gábor , Leporis Gy. , Makai E. , Mészáros György , Mészáros L. , Pálfi Gy. , Papp László , Peterle Cecilia
Füzet:	1963/február, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb egyenletesen változó mozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 272. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítanunk kell, hogy a $T$ menetidőre fennáll a következő:

\begin{matrix} T \geq {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy a vonat

T_{1}

ideig

a

egyenletes gyorsulással mozog, majd

b

abszolút értékű egyenletes lassulással éppen az

s

út végén áll meg (

T_{1} + T_{2} = T

).

Ez esetben igaz, hogy

\frac{a T_{1}^{2}}{2} + \frac{b T_{2}^{2}}{2} = s

,

illetve

a T_{1}^{2} + b T_{2}^{2} = 2 s

. Szorzunk

(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

-vel:

\begin{matrix} \frac{a T_{1}^{2}}{b} + T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + \frac{b T_{2}^{2}}{a} = 2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) . \end{matrix}

A maximális sebesség értékére érvényes kifejezést felhasználva (

v = a T_{1} = b T_{2}

) kapjuk:

\begin{matrix} T_{1} T_{2} + T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + T_{1} T_{2} = 2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}), \\ {(T_{1} + T_{2})}^{2} = T^{2} = 2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}), \\ T = {[2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Ez akkor a legkisebb, ha

a

és

b

maximális

α

ill.

β

értékeiket veszik fel.

T_{min} = {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2}

, ha a vonat

a

gyorsulással addig gyorsul, amikor a maximális lassulással el kell kezdenie a fékezést, hogy az

s

út végén még megállhasson.

Papp László (Jászberény, Lehel g. IV. o. t.),
Kiss Gábor (Debrecen, Kossuth L. g. IV. o. t.)
megoldásai alapján.

Megjegyzések: 1. Legyen a mozgás folyamán olyan pályaszakasz, ahol a vonat egyenletesen mozog. Az idő és útszakaszok rendre

T_{1}

(gyorsulás),

T_{2}

(egyenletes mozgás),

T_{3}

(lassulás) ill.

s_{1}

s_{2}

s_{3}

; (

T_{1} + T_{2} + T_{3} = T

s_{1} + s_{2} + s_{3} = s

). Az előbbiek alapján a gyorsuló és lassuló mozgásra

\begin{matrix} T_{1}^{2} + 2 T_{1} T_{3} + T_{3}^{2} = \frac{2 (s_{1} + s_{3}) (α + β)}{α β} \end{matrix}

(I.)

Az egyenletes mozgás idejére

\begin{matrix} T_{2} = \frac{s_{2}}{v} = \frac{s_{2}}{α T_{1}}, innen 2 T_{1} T_{2} = \frac{2 s_{2}}{α} & (II.) \\ T_{2} = \frac{s_{2}}{v} = \frac{2}{β T_{3}}, innen 2 T_{2} T_{3} = \frac{2 s_{2}}{β} . & (III.) \end{matrix}

A három egyenletet összeadva és mindkét oldalhoz

T_{2}^{2}

-et hozzáadva

\begin{matrix} T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + T_{3}^{2} + 2 T_{1} T_{2} + 2 T_{1} T_{3} + 2 T_{2} T_{3} = \frac{2 (s_{1} + s_{2} + s_{3}) (α + β)}{α β} + T_{2}^{2}, \\ {(T_{1} + T_{2} + T_{3})}^{2} = T^{2} = \frac{2 s (α + β)}{α β} + T_{2}^{2}, \\ T = {[\frac{2 s (α + β)}{α β} + T_{2}^{2}]}^{1 / 2} > {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2}, mivel T_{2} \neq 0. \end{matrix}

A menetidőre valóban fennáll, hogy

\begin{matrix} T \geq {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Bizonyítanunk kell, hogy a

T

menetidőre fennáll a következő:

\begin{matrix} T \geq {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy a vonat

T_{1}

ideig

a

egyenletes gyorsulással mozog, majd

b

abszolút értékű egyenletes lassulással éppen az

s

út végén áll meg (

T_{1} + T_{2} = T

).

Ez esetben igaz, hogy

\frac{a T_{1}^{2}}{2} + \frac{b T_{2}^{2}}{2} = s

,

illetve

a T_{1}^{2} + b T_{2}^{2} = 2 s

. Szorzunk

(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

-vel:

\begin{matrix} \frac{a T_{1}^{2}}{b} + T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + \frac{b T_{2}^{2}}{a} = 2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) . \end{matrix}

A maximális sebesség értékére érvényes kifejezést felhasználva (

v = a T_{1} = b T_{2}

) kapjuk:

\begin{matrix} T_{1} T_{2} + T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + T_{1} T_{2} = 2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}), \\ {(T_{1} + T_{2})}^{2} = T^{2} = 2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}), \\ T = {[2 s (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Ez akkor a legkisebb, ha

a

és

b

maximális

α

ill.

β

értékeiket veszik fel.

T_{min} = {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2}

, ha a vonat

a

gyorsulással addig gyorsul, amikor a maximális lassulással el kell kezdenie a fékezést, hogy az

s

út végén még megállhasson.

Papp László (Jászberény, Lehel g. IV. o. t.),
Kiss Gábor (Debrecen, Kossuth L. g. IV. o. t.)
megoldásai alapján.

Megjegyzések: 1. Legyen a mozgás folyamán olyan pályaszakasz, ahol a vonat egyenletesen mozog. Az idő és útszakaszok rendre

T_{1}

(gyorsulás),

T_{2}

(egyenletes mozgás),

T_{3}

(lassulás) ill.

s_{1}

s_{2}

s_{3}

; (

T_{1} + T_{2} + T_{3} = T

s_{1} + s_{2} + s_{3} = s

). Az előbbiek alapján a gyorsuló és lassuló mozgásra

\begin{matrix} T_{1}^{2} + 2 T_{1} T_{3} + T_{3}^{2} = \frac{2 (s_{1} + s_{3}) (α + β)}{α β} . \end{matrix}

(I.)

Az egyenletes mozgás idejére

\begin{matrix} T_{2} = \frac{s_{2}}{v} = \frac{s_{2}}{α T_{1}}, innen 2 T_{1} T_{2} = \frac{2 s_{2}}{α} . & (II.) \\ T_{2} = \frac{s_{2}}{v} = \frac{2}{β T_{3}}, innen 2 T_{2} T_{3} = \frac{2 s_{2}}{β} . & (III.) \end{matrix}

A három egyenletet összeadva és mindkét oldalhoz

T_{2}^{2}

-et hozzáadva

\begin{matrix} T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + T_{3}^{2} + 2 T_{1} T_{2} + 2 T_{1} T_{3} + 2 T_{2} T_{3} = \frac{2 (s_{1} + s_{2} + s_{3}) (α + β)}{α β} + T_{2}^{2}, \\ {(T_{1} + T_{2} + T_{3})}^{2} = T^{2} = \frac{2 s (α + β)}{α β} + T_{2}^{2}, \\ T = {[\frac{2 s (α + β)}{α β} + T_{2}^{2}]}^{1 / 2} > {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2}, mivel T_{2} \neq 0. \end{matrix}

A menetidőre valóban fennáll, hogy

\begin{matrix} T \geq {[\frac{2 s (α + β)}{α β}]}^{1 / 2} . \end{matrix}

2. A sebesség-idő grafikonból szemléletesen is látszik, hogy az a vonat, amely egyes szakaszokon egyenletes sebességgel, vagy változó (de

α

ill.

β

-nál kisebb) gyorsulással halad, csak kevesebb utat tehet meg (tehát adott út megtétele több időbe kerül) mint a fenti esetben. A megtett utat a sebesség-idő grafikon alatti terület adja.

Mészáros György (Bp., Piarista g. III. o. t.)