Feladat: F.1954 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/április, 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Részhalmazok, Halmazalgebra, Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/november: F.1954

Egy osztály tanulói ‐ fiúk és lányok egyaránt vannak köztük ‐ mind szőkék vagy barnák és mindkét hajszín előfordul. Igazoljuk, hogy található olyan fiú‐lány pár az osztályban, akiknek a hajszíne különböző.
Tegyük fel, hogy ugyanebben az osztályban testmagasság szerint is megkülönböztetünk két esetet, és az osztályban van alacsony és magas termetű tanuló is. Igaz-e mindig, hogy van két olyan tanuló, akiknek mindhárom tulajdonságuk különböző?
Igaz-e mindig, hogy van olyan három tanuló, akik közül bármely kettőnek legfeljebb egy tulajdonsága egyezik meg?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszunk a tanulók közül egy fiút és egy lányt. Ha különbözik a hajszínük, máris találtunk olyan párt, amely a feladat követelményének megfelel. Ha azonos a hajszínük, mondjuk szőkék, akkor válasszunk ki egy barna hajú tanulót (a feltétel szerint ez lehetséges). Ha ez fiú, akkor az előbb kiválasztott lánnyal, ha pedig lány, akkor az előbb kiválasztott fiúval alkot megfelelő párt.
A további két kérdésre nemmel kell felelnünk. Gondolható ugyanis olyan osztály, ahol minden tanuló az alábbi négy csoport egyikébe tartozik:

 

  magas    alacsony    magas    alacsony  szőke    barna    barna    szőke  fiú    fiú    lány    lány  

 


Ha itt két tanuló azonos csoporthoz tartozik, akkor mindhárom tulajdonságuk azonos, ha pedig különböző csoportba tartoznak, akkor pontosan egy közös tulajdonságuk van. Tehát ebben az osztályban nem található két olyan tanuló, akiknek mindhárom tulajdonságuk különböző. Végül ha egy osztályban csak magas szőke fiúk és alacsony barna lányok vannak, akkor bármely három tanuló közül kettő ugyanabba a csoportba tartozik, és így mindhárom tulajdonságuk azonos. Emiatt a feladat utolsó kérdésére is nemmel kell válaszolnunk.