Feladat: Metresis 25. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 38 - 39. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 25. feladata

Az AB hosszúságú egyenes végpontjai az xOy=ω szög szárain siklanak. Az AB egyenes M pontja ekkor ellipszist ír le. Bizonyíttassék be, hogy az ellipszisnek M pontjában húzott deréklője keresztül megy az Ox és Oy egyenesekre az A és B pontokban húzott merőlegesek metszéspontján, I-n.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen OA=α,OB=β,BM=a,MA=b.
Az M pont által leírt ellipszis egyenlete az xOy ferdeszögű tengelyrendszerre vonatkoztatva.

x2a2-2xyabcosω+y2b2-1=0.1)
Az ellipszis normálisának egyenlete az M(x0,y0) pontban:
x-x0X-Ycosω=y-y0Y-Xcosω2)
hol
X=2xa2-2ycosωab
Y=2yb2-2xcosωab

A 2) alatti egyenlet még a következő alakra hozható:
x+ycosω-(x0+y0cosω)X=xcosω+y0-(x0cosω+y0)Y.
De az M pont coordinátái
x0=aαa+by0=bβa+b
és így az ellipszis normálisának egyenlete a következő alakot nyeri:
x+ycosω-1a+b(aα+bβcosω)1a(α-βcosω)=xcosω+y-1a+b(aαcosω+bβ)1b(β-αcosω).
mely még a következő alakban is írható:
a(x+ycosω-α)+aba+b(α-βcosω)α-βcosω=b(xcosω+y-β)+aba+b(β-αcosω)β-αcosω.

Ez végre könnyen belátható egyszerűsítés után a következő alakú lesz:
a(x+ycosω-α)α-βcosω=b(xcosω+y-β)β-αcosω3)

A normális 3) alatti egyenletéből világos, hogy az keresztül megy az
x+ycosω-α=0
y+xcosω-β=0
egyenletű egyenesek metszéspontján.
De ez egyenesek nem egyebek, mint az x és y tengelyekre az A és B pontokban emelt merőlegesek és ezzel a feladatban foglalt kijelentés be van bizonyítva.