Feladat: Metresis 23. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 36 - 37. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Körülírt kör, Kör egyenlete, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 23. feladata

Adva lévén az xOy szög, két pont: A és B az Ox száron és egy C pont az Oy száron, vonjunk a C pontból két egyenest, CM-et és CN-et, melyek antiparallelek az adott szögre nézve és az Ox szárat M és N pontokban metszik. Képezzük az MNC háromszög körül írt kör egyenletét. Határozzuk meg M-et és N-et úgy AM=-BN.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a CM és CN egyenesek antiparallelek, akkor a következő relácziót elégítik ki:

OMON=OC2.1)
Jeleljük OC-t c-vel és OM-et m-mel, ekkor az előbbi összefüggés alapján
ON=c2m
A kör egyenlete az xOy ferdeszögű tengelyrendszerre vonatkoztatva:
x2+2xycosω+y2+2Dx+2Ey+F=0
hol ω=xOy.
Minthogy az x tengely a kérdéses kört M és N pontokban metszi, ezek koordinátái (m,0) és (c2m,0) kielégítik a kör egyenletét, vagyis az
x2+2Dx+F=0
egyenlet gyökei m és c2m; tehát
2D=-(m+c2m),F=c2
Hasonlóképpen az
y2+2Ey+c2=0
egyenlet egyik gyöke c, miből rögtön következik, hogy a második is c és ennélfogva
2E=-2c;
a keresett kör egyenlete tehát
x2+2xycosω+y2-(m+c2m)x-2cy+c2=02)
Ezen egyenlet oly kört ábrázol, mely az y tengelyt C pontban érinti, a mi különben az 1) alatti reláczió folyománya.
Ha OA-t a-val, OB-t b-vel jeleljük, az
AM=-BN
feltétel a következő alakot nyeri:
m-a=b-c2m
vagy
m+c2m=a+b
A feladat tehát arra redukálódik: Szerkesszünk két egyenest m-et és n-et, melyeknek összege a+b és mértani középarányosa c. A megoldás csak akkor lehetséges, ha
(a+b)2-4c20.
A szerkesztés külömben a következő. Az a+b egyenes mnt átmérő felett félkört alakítok és ezt átvágom egy az a+b-vel párhuzamos és tőle c távolságra fekvő egyenessel. A metszéspontok bármelyikéből merőlegest húzva az a+b-re, ennek talppontja azt m és n részekre osztja.
A 2) alatti kör egyenlete akkor a következő alakot nyeri:
x2+2xycosω+y2-(a+b)x-2cy+c2=0.