Kezdőlap


Feladat:	Metresis 23. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Körülírt kör, Kör egyenlete, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a $C M$ és $C N$ egyenesek antiparallelek, akkor a következő relácziót elégítik ki:

\begin{matrix} O M \cdot O N = O C^{2} . \end{matrix}

Jeleljük

O C

-t

c

-vel és

O M

-et

m

-mel, ekkor az előbbi összefüggés alapján

\begin{matrix} O N = \frac{c^{2}}{m} \end{matrix}

A kör egyenlete az

x O y

ferdeszögű tengelyrendszerre vonatkoztatva:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y \end{matrix}

hol

ω = x O y ∢

.
Minthogy az

x

tengely a kérdéses kört

M

és

N

pontokban metszi, ezek koordinátái

(m, 0)

és

(\frac{c^{2}}{m}, 0)

kielégítik a kör egyenletét, vagyis az

\begin{matrix} x^{2} + 2 D x + F = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei

m

és

\frac{c^{2}}{m}

; tehát

\begin{matrix} 2 D = - (m + \frac{c^{2}}{m}), F = c^{2} \end{matrix}

Hasonlóképpen az

\begin{matrix} y^{2} + 2 E y + c^{2} = 0 \end{matrix}

egyenlet egyik gyöke

c

, miből rögtön következik, hogy a második is

c

és ennélfogva

\begin{matrix} 2 E = - 2 c; \end{matrix}

a keresett kör egyenlete tehát

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y \end{matrix}

Ezen egyenlet oly kört ábrázol, mely az

y

tengelyt

C

pontban érinti, a mi különben az

1)

alatti reláczió folyománya.
Ha

O A

-t

a

-val,

O B

-t

b

-vel jeleljük, az

\begin{matrix} A M = - B N \end{matrix}

feltétel a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} m - a = b - \frac{c^{2}}{m} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} m + \frac{c^{2}}{m} = a + b \end{matrix}

A feladat tehát arra redukálódik: Szerkesszünk két egyenest

m

-et és

n

-et, melyeknek összege

a + b

és mértani középarányosa

c .

A megoldás csak akkor lehetséges, ha

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} - 4 c^{2} ≧ 0. \end{matrix}

A szerkesztés külömben a következő. Az

a + b

egyenes mnt átmérő felett félkört alakítok és ezt átvágom egy az

a + b

-vel párhuzamos és tőle

c

távolságra fekvő egyenessel. A metszéspontok bármelyikéből merőlegest húzva az

a + b

-re, ennek talppontja azt

m

és

n

részekre osztja.
A

2)

alatti kör egyenlete akkor a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y \end{matrix}