Kezdőlap


Feladat:	Metresis 22. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1894/július, 28 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok szimmetriái, Tengelyes tükrözés, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Mértani helyek, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$O$ kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}

A (c, o), M (ξ, η), N (ξ, - η)

M

és

N, O

kör kerületében lévén:

\begin{matrix} ξ^{2} + η^{2} = r^{2} \end{matrix}

1.a)

A O N

kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 α x + 2 β y = 0, \end{matrix}

mert átmegy

O

ponton. De átmegy

A

ponton is, tehát:

\begin{matrix} 2 α = - c \end{matrix}

1. és 2. kör közös hatványvonala:

\begin{matrix} c x - 2 β y - r^{2} = 0, \end{matrix}

mely

A O

átmérőt állandó

A' (\frac{r^{2}}{c}, 0)

pontban vágja. Ha

A O

átmérő végpontjai

G

és

H

, akkor

(G A H A') = - 1

, mert:

\begin{matrix} A G = (r - c), H A = (r + c), A' G = \frac{r (r - c)}{c}, A' H = \frac{r (r + c)}{c} . \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} (A G : A H) : (A' G : A' H) = - 1, \end{matrix}

azaz:

A'

harmonikus párja

A

-nak, s vele együtt ismert módon változtatja helyzetét.
A körök közös hatványvonala mindig átmegy

N

ponton is, s így:

\begin{matrix} c ξ + 2 β η - r^{2} = 0 \end{matrix}

3.a)

O M

átmérő egyenlete:

\begin{matrix} η x - ξ y = 0 \end{matrix}

3) és 4)-ből:

\begin{matrix} ξ = \frac{r^{2} x}{c x + 2 β y}, η = \frac{r^{2} y}{c x + 2 β y} . \end{matrix}

ξ

és

η

talált értékeit 1.a)-ba helyettezve, s tekintetbe véve, hogy 2)-ből:

\begin{matrix} 2 β y = - (x^{2} + y^{2} - c x), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} c x + 2 β y = - (x^{2} + y^{2} - 2 c x), \end{matrix}

a keresett geometriai hely egyenlete:

\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2} - 2 c x)}^{2} - r^{2} (x^{2} + y^{2}) = 0 \end{matrix}

A geometriai hely negyedrendű görbesor, melynek egyedei

A

pont helyzetétől (

c

értéke) függőleg alakulnak.

A görbe általános elemzése.

Az 5) egyenletből kiolvasható, hogy a görbének

O

pont mindig pontja, még pedig vagy csomópontja, vagy izolált kettős pontja, vagy csúcsa, mert

c

bármely értéke mellett is

\begin{matrix} y^{2} = 0 \end{matrix}

helyettezésre:

\begin{matrix} x^{2} [{(x - 2 c)}^{2} - r^{2}] = 0, \end{matrix}

tehát

x^{2} = 0

ered mindíg. Az

O A

átmérővel alkotott másik két metszéspont abscissái:

\begin{matrix} {(x - 2 c)}^{2} - r^{2} = 0 -ból \end{matrix}

\begin{matrix} x = 2 c + r, x = 2 c - r . \end{matrix}

O A

-ra függélyes átmérő végpontjai szintén mindig pontjai a görbének, mert

x = 0

mellett

\begin{matrix} y^{2} (y^{2} - r^{2}) = 0, \end{matrix}

tehát az utolsó tényezőből

\begin{matrix} y = \pm r \end{matrix}

ered.
A görbe mindig zárt,

A O

átmérőre symmetrikus és

A

pont helyzetéhez képest:

\begin{matrix} r > 2 c > 0 \end{matrix}

mellett

O

izolált kettős pont.
Minél inkább közeledik

< A > O

-hoz, annál inkább megközelíti a görbe a kört, s

c = 0

mellett vele egybeesik.

r = 2 c

esetében

O

pont a görbe csúcsa, s

A O

átmérő érintő

O

pontban.

2 c > r

mellett a görbe hurkot vet, s

O

csomóponttá válik. Ha

c = r,

tehát

A

pont

A O

átmérő végpontja

A

szintén pontja a görbének.

< A >

távoztával a hurokrész mind nagyobb lesz, s ha

A

a végtelenbe megy: a görbe, mint az

A O

-ra merőleges átmérő, kettős egyenessé fajul.
A csomóponthoz tartozó két érintő meghatározására legyen annak egyenlete:

\begin{matrix} y = m x . \end{matrix}

mely egyenesnek e szerint 3 pontja közös

O

-ban a görbével, ha érintő:
Ezt a görbe egyenletébe téve:

\begin{matrix} x^{2} [{((1 + m^{2}) x - 2 c)}^{2} - r^{2} (1 + m^{2})] = 0, \end{matrix}

mely egyenletet

x = 0

-nak háromszor kellvén kielégítenie, az

m

meghatározására

\begin{matrix} r^{2} (1 + m^{2}) = 4 c^{2} \end{matrix}

ered, azaz

\begin{matrix} m = \pm \frac{\sqrt[]{4 c^{2} - r^{2}}}{r} \end{matrix}

mindig, mely egyenlet szintén mutatja: mikor lesz

O

a görbe ilyen vagy olyan singularis pontja.
Minden más pontban az érintő hajlásszögének tangense ismert módon képezve:

\begin{matrix} tan α = \frac{2 (x^{2} + y^{2} - 2 c x) (x - c) - r^{2} x}{y (r^{2} - 2 (x^{2} + y^{2} - 2 c x))} \end{matrix}

vagy

M

pont coordinátái függvényében:

\begin{matrix} tan α = \frac{2 c r^{2} + r^{2} ξ - 4 c ξ^{2}}{η (4 c ξ - r^{2})} . \end{matrix}

II.

A feladat második részében kívánt geometriai hely meghatározására először is fejezzük ki

P (x, y)

coordinátáit

M

-éi

(τ, μ)

függvényében, kiindulván a

\begin{matrix} τ = - \frac{r^{2} x}{(x^{2} + y^{2} - 2 c x)}, μ = - \frac{r^{2} y}{(x^{2} + y^{2} - 2 c x)} \end{matrix}

összefüggésekből és

O M

átmérő

\begin{matrix} μ x - τ y = 0 \end{matrix}

egyenletéből.
Tekintve, hogy

\begin{matrix} τ^{2} + μ^{2} = r^{2} \end{matrix}

mindig

\begin{matrix} x = \frac{2 c τ - r^{2}}{r^{2}} τ, y = \frac{2 c τ - r^{2}}{r^{2}} μ \end{matrix}

P

pontban az érintő hajlásszöge tangensének már ismert értéke folytán az érintő kör sugarának egyenlete

\begin{matrix} y - \frac{2 c τ - r^{2}}{r^{2}} μ = \frac{μ (r^{2} - 4 c τ)}{2 c r^{2} + r^{2} τ - 4 c τ^{2}} (x - \frac{2 c τ - r^{2}}{r^{2}} τ) \end{matrix}

O M

átmérőre

O P

távolság felező pontján átmenő merőleges egyenlete:

\begin{matrix} y - \frac{2 c τ - r^{2}}{2 r^{2}} μ = - \frac{τ}{μ} (x - \frac{2 c τ - r^{2}}{2 r^{2}} τ) \end{matrix}

6) és 7)-ből az érintő kör középpontjának coordinátái:

\begin{matrix} p = \frac{2 c - τ}{2}, q = - \frac{μ}{2} \end{matrix}

Ezek alapján a

P

pontban érintő és

O

-n átmenő kör (nem a görbületi, vagy simuló) egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - (2 c - τ) x + μ y = 0 \end{matrix}

\bar{O M}

átmérőjű kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - τ x - μ y = 0 \end{matrix}

A két egyenlet összeadásával

τ

és

μ

határozatlanok kiküszöböltetvén, a keresett geometriai hely egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - c x = 0 \end{matrix}

10)

a mi

\bar{A C}

átmérő fölött írt kör.

Maksay Zsigmond.