Feladat: Metresis 22. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Maksay Zsigmond 
Füzet: 1894/július, 28 - 31. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok szimmetriái, Tengelyes tükrözés, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Mértani helyek, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 22. feladata

Adva van az O körön két pont M és N, melyek szimmetrikusak egy átmérőre nézve és egy A pont ezen az átmérőn.
10. Ha az A pont szilárd és az M és N pontok oly módon mozognak az O körön, hogy szimmetrikusak maradnak az OA átmérőre vonatkozólag, határoztassék meg az OM egyenes és az OAN kör második metszéspontjának P-nek mértani helye C.
20. Határoztassék meg a mértani helye azon két kör második metszéspontjának, melyek O-n mennek keresztül és melyek közül az egyik érinti a C-t P pontban, a másik az O kört M pontban.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

O kör egyenlete:

x2+y2=r21)
A(c,o),M(ξ,η),N(ξ,-η)
M és N,O kör kerületében lévén:
ξ2+η2=r21.a)
AON kör egyenlete:
x2+y2+2αx+2βy=0,2)
mert átmegy O ponton. De átmegy A ponton is, tehát:
2α=-c
1. és 2. kör közös hatványvonala:
cx-2βy-r2=0,3)
mely AO átmérőt állandó A'(r2c,0) pontban vágja. Ha AO átmérő végpontjai G és H, akkor (GAHA')=-1, mert:
AG=(r-c),HA=(r+c),A'G=r(r-c)c,A'H=r(r+c)c.
tehát:
(AG:AH):(A'G:A'H)=-1,
azaz: A' harmonikus párja A-nak, s vele együtt ismert módon változtatja helyzetét.
A körök közös hatványvonala mindig átmegy N ponton is, s így:
cξ+2βη-r2=03.a)
OM átmérő egyenlete:
ηx-ξy=04)
3) és 4)-ből:
ξ=r2xcx+2βy,η=r2ycx+2βy.
ξ és η talált értékeit 1.a)-ba helyettezve, s tekintetbe véve, hogy 2)-ből:
2βy=-(x2+y2-cx),
tehát
cx+2βy=-(x2+y2-2cx),
a keresett geometriai hely egyenlete:
(x2+y2-2cx)2-r2(x2+y2)=05)

A geometriai hely negyedrendű görbesor, melynek egyedei A pont helyzetétől (c értéke) függőleg alakulnak.
 

A görbe általános elemzése.
 

Az 5) egyenletből kiolvasható, hogy a görbének O pont mindig pontja, még pedig vagy csomópontja, vagy izolált kettős pontja, vagy csúcsa, mert c bármely értéke mellett is
y2=0
helyettezésre:
x2[(x-2c)2-r2]=0,
tehát x2=0 ered mindíg. Az OA átmérővel alkotott másik két metszéspont abscissái:
(x-2c)2-r2=0-ból
x=2c+r,x=2c-r.
Az OA-ra függélyes átmérő végpontjai szintén mindig pontjai a görbének, mert x=0 mellett
y2(y2-r2)=0,
tehát az utolsó tényezőből
y=±r
ered.
A görbe mindig zárt, AO átmérőre symmetrikus és A pont helyzetéhez képest:
r>2c>0
mellett O izolált kettős pont.
Minél inkább közeledik <A>O-hoz, annál inkább megközelíti a görbe a kört, s c=0 mellett vele egybeesik.
r=2c esetében O pont a görbe csúcsa, s AO átmérő érintő O pontban.
2c>r mellett a görbe hurkot vet, s O csomóponttá válik. Ha c=r, tehát A pont AO átmérő végpontja A szintén pontja a görbének. <A> távoztával a hurokrész mind nagyobb lesz, s ha A a végtelenbe megy: a görbe, mint az AO-ra merőleges átmérő, kettős egyenessé fajul.
A csomóponthoz tartozó két érintő meghatározására legyen annak egyenlete:
y=mx.
mely egyenesnek e szerint 3 pontja közös O-ban a görbével, ha érintő:
Ezt a görbe egyenletébe téve:
x2[((1+m2)x-2c)2-r2(1+m2)]=0,
mely egyenletet x=0-nak háromszor kellvén kielégítenie, az m meghatározására
r2(1+m2)=4c2
ered, azaz
m=±4c2-r2r
mindig, mely egyenlet szintén mutatja: mikor lesz O a görbe ilyen vagy olyan singularis pontja.
Minden más pontban az érintő hajlásszögének tangense ismert módon képezve:
tanα=2(x2+y2-2cx)(x-c)-r2xy(r2-2(x2+y2-2cx))
vagy M pont coordinátái függvényében:
tanα=2cr2+r2ξ-4cξ2η(4cξ-r2).
 
II.

A feladat második részében kívánt geometriai hely meghatározására először is fejezzük ki P(x,y) coordinátáit M-éi (τ,μ) függvényében, kiindulván a
τ=-r2x(x2+y2-2cx),μ=-r2y(x2+y2-2cx)
összefüggésekből és OM átmérő
μx-τy=0
egyenletéből.
Tekintve, hogy
τ2+μ2=r2
mindig
x=2cτ-r2r2τ,y=2cτ-r2r2μ
P pontban az érintő hajlásszöge tangensének már ismert értéke folytán az érintő kör sugarának egyenlete
y-2cτ-r2r2μ=μ(r2-4cτ)2cr2+r2τ-4cτ2(x-2cτ-r2r2τ)6)
OM átmérőre OP távolság felező pontján átmenő merőleges egyenlete:
y-2cτ-r22r2μ=-τμ(x-2cτ-r22r2τ)7)
6) és 7)-ből az érintő kör középpontjának coordinátái:
p=2c-τ2,q=-μ2
Ezek alapján a P pontban érintő és O-n átmenő kör (nem a görbületi, vagy simuló) egyenlete:
x2+y2-(2c-τ)x+μy=08)
Az OM¯ átmérőjű kör egyenlete:
x2+y2-τx-μy=09)

A két egyenlet összeadásával τ és μ határozatlanok kiküszöböltetvén, a keresett geometriai hely egyenlete:
x2+y2-cx=010)
a mi AC¯ átmérő fölött írt kör.
Maksay Zsigmond.