Kezdőlap


Feladat:	Metresis 18. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Prímtényezős felbontás, Osztók száma függvény, Számelméleti függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 18. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . $N$ -nek minden osztója a következő alakú

\begin{matrix} a^{m} b^{n} c^{p}, \end{matrix}

hol az

m

n

és

p

kitevők, melyek zérussal is lehetnek egyenlők legfeljebb

α, β

és

γ

-val egyenlők rendre.
Hogy felírhassuk

N

-nek minden osztóját, elegendő, ha

m

-nek minden értéket tulajdonítunk

0

-tól

α

-ig,

n

-nek minden értéket

0

-tól

β

-ig és

p

-nek minden értéket

0

-tól

γ

-ig. Más szavakkal, a kérdéses osztók a következő szorzat egyes tagjai által advák:

\begin{matrix} (1 + a + a^{2} + ... + a^{α}) (1 + b + b^{2} + ... + b^{β}) (1 + c + c^{2} + ... + c^{γ}) \end{matrix}

2^{0}

. Az osztók száma egyenlő az előbbi szorzat tagjainak számával, az

\begin{matrix} (α + 1) (β + 1) (γ + 1) \end{matrix}

-gyel.

3^{0}

. Legyen

d

és

d_{1}

két osztó, melyek a végektől egyenlő távolságra vannak. Azt állítom, hogy

\begin{matrix} d = \frac{N}{d_{1}} \end{matrix}

feltevés szerint

1

és

d

meg

d_{1}

és

N

között egyenlő számos osztója van

N

-nek. Ha tehát elosztom

N

-et a

d_{1}

-től

N

-ig terjedő osztók sorozatával,

\frac{N}{d_{1}}

-től

\frac{N}{N} = 1

-ig terjedő és csökkenő sorozatát nyerem az

N

osztóinak. De ezek növekedő sorba rendezve ugyanazon számmal kezdődnek és ugyanannyi taggal bírnak, mint az

1

-től

d

-ig terjedő sorozat, s így tehát

\frac{N}{d_{1}}

-nek okvetlenül egyenlőnek kell lennie

d

-vel, vagyis

\begin{matrix} d d_{1} = N \end{matrix}

4^{0}

. Az előbbiekből következik, hogy

N

minden osztója a következő alakú

\begin{matrix} \frac{N}{d_{1}}, \end{matrix}

hol

d_{1}

N

osztóinak valamelyike.
Ha szorozzuk tehát az összes osztókat egymással e szorzat a következő alakot ölti:

\begin{matrix} P = \frac{N^{(α + 1) (β + 1) (γ + 1)}}{P} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} P = \frac{N^{(α + 1) (β + 1) (γ + 1)}}{2} \end{matrix}

Alkalmazás. Ha

N = 630 = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 7

, az

N

osztói ekkor

1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 15, 18, 21, 30, 35, 42, 45, 63, 70, 90, 105, 126, 210, 315,

és

630;

számuk

\begin{matrix} (1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 24 \end{matrix}

és szorzatuk

\begin{matrix} 630^{12} = 3 909 188 328 478 827 879 681 \cdot 10^{12} \end{matrix}