Feladat: Metresis 18. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 33 - 34. oldal  PDF file
Témakör(ök): Osztók száma, Prímtényezős felbontás, Osztók száma függvény, Számelméleti függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 18. feladata

Egy számot felbontunk törzstényezőire; legyen N=aα×bβ×cγ. Felírandó először is e szám minden osztója; meghatározandó másodszor az összes osztók száma; bebizonyítandó harmadszor, hogy ha ez osztókat nagyság szerint növekedő sorba rendezzük, két, a végektől egyenlő távolságra álló osztó szorzata egyenlő N-nel, végre kiszámítandó az adott szám összes osztóinak szorzata. A nyert eredmények alkalmazandók a 630-as számra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

10. N-nek minden osztója a következő alakú

ambncp,
hol az m, n és p kitevők, melyek zérussal is lehetnek egyenlők legfeljebb α,β és γ-val egyenlők rendre.
Hogy felírhassuk N-nek minden osztóját, elegendő, ha m-nek minden értéket tulajdonítunk 0-tól α-ig, n-nek minden értéket 0-tól β-ig és p-nek minden értéket 0-tól γ-ig. Más szavakkal, a kérdéses osztók a következő szorzat egyes tagjai által advák:
(1+a+a2+...+aα)(1+b+b2+...+bβ)(1+c+c2+...+cγ)

20. Az osztók száma egyenlő az előbbi szorzat tagjainak számával, az
(α+1)(β+1)(γ+1)
-gyel.
30. Legyen d és d1 két osztó, melyek a végektől egyenlő távolságra vannak. Azt állítom, hogy
d=Nd1
feltevés szerint 1 és d meg d1 és N között egyenlő számos osztója van N-nek. Ha tehát elosztom N-et a d1-től N-ig terjedő osztók sorozatával, Nd1-től NN=1 -ig terjedő és csökkenő sorozatát nyerem az N osztóinak. De ezek növekedő sorba rendezve ugyanazon számmal kezdődnek és ugyanannyi taggal bírnak, mint az 1-től d-ig terjedő sorozat, s így tehát Nd1-nek okvetlenül egyenlőnek kell lennie d-vel, vagyis
dd1=N

40. Az előbbiekből következik, hogy N minden osztója a következő alakú
Nd1,
hol d1 az N osztóinak valamelyike.
Ha szorozzuk tehát az összes osztókat egymással e szorzat a következő alakot ölti:
P=N(α+1)(β+1)(γ+1)P
vagyis
P=N(α+1)(β+1)(γ+1)2

Alkalmazás. Ha N=630=2×32×5×7, az N osztói ekkor 1,2,3,5,7,10,14,15,18,21,30,35,42,45,63,70,90,105,126,210,315, és 630; számuk
(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)=24
és szorzatuk
63012=39091883284788278796811012