Feladat: Metresis 11. feladata Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 10 - 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 11. feladata

Találjunk 6 számjegyből álló számot, mely teljes négyzet és az marad, ha a számjegyek sorrendjét megfordítjuk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen N a keresett szám és N' a megfordított szám; legyen továbbá N=p2. Minden négyzet csak 0,1,4,5,6 vagy 9-re végződvén, kell, hogy az N szám első számjegye is ezen számok egyike legyen, külömben az N' nem lehetne teljes négyzet.
Minthogy

N=a105+b104+c103+d102+e10+f
és
N'=f105+e104+d103+c102+b10+a,
N+N'=(a+f)105+(b+e)104+(c+d)103+
+(d+c)102+(e+b)10+f+a

De ezen számnál a páros helyeken álló számjegyek összege egyenlő a páratlan helyeken álló számjegyek összegével, azaz
(a+f)+(c+d)+(e+b)=(b+e)+d+c)+(f+a)
vagyis N+N'=k11.
Két teljes négyzet összege azonban csak akkor osztható 11-gyel, ha mindegyik külön-külön osztható 11-gyel és így
N=m11
és
p=n11
Minthogy pedig N hatjegyű szám
105<N<106,
316<p<1000.

Másrészt minthogy N vagy 1, vagy 4, vagy 5, vagy 6, vagy 9-czel kezdődik, N csak a következő határok közt fekhetik:
100000és200000
400000és700000
900000és1000000.

316<p<448
vagy
632<p<837
vagy végre
918<p<1000.

Látjuk tehát, hogy p oly többszöröse a 11-nek, mely a fönntebbi határok közt fekszik.
Hogy a további keresést megkönnyítsük, jegyezzük meg, miszerint ha N első számjegye 5, N' utolsó számjegye szintén 5; és minthogy minden 5-re végződő teljes négyzetben a tízes helyen álló számjegy 2, az N második számjegye ez esetben szintén 2 és így
520000<N<530000
vagy
721<p<729

Minthogy ezen határok között egyedül 726 többszöröse a 11-nek és ennek négyzete nem felel meg a feladatnak, kimondhatjuk, hogy N nem foglaltatik 500000 és 600000 között és p nem fordulhat elő 708 és 774 között és nem is végződhetik 5-tel. Jegyezzük meg továbbá, hogy ha valamely teljes négyzet utolsó számjegye 1,4 vagy 9, a tízes helyen álló számjegy páros és ha az utolsó számjegy 6 az utolsó-előtti páratlan. Ha tehát N első számjegye 1,4 vagy 9, a második páros, míg ha az első 6 a második páratlan.
Ugyanis 1,4 és 9-czel a következő alakú számok négyzetei végződnek:
10q+1,10q±2,10q±3
és ezek
100q2+102q+1,100q2pm104q4,100q2±106q+9
míg 6-tal a következő alakú számok végződnek
10q±4
melyek négyzete
1002±108q+16=100q2+10(±8q+1)+6,
a mivel fentebbi állításaink igazolvák.
Mindezek után csak a következő 11-gyel osztható számok jöhetnek tekintetbe:
319,330,352,407,429,638,649,682,693,836,990,
melyek közül
330,836és990
elégítik ki a feladatot. Ezek négyzetei ugyanis
108900,698896,980100
és ezek megfordítva szintén teljes négyzeteket szolgáltatnak.