Kezdőlap


Feladat:	Metresis 11. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 10 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $N$ a keresett szám és $N'$ a megfordított szám; legyen továbbá $N = p^{2}$ . Minden négyzet csak $0, 1, 4, 5, 6$ vagy $9$ -re végződvén, kell, hogy az $N$ szám első számjegye is ezen számok egyike legyen, külömben az $N'$ nem lehetne teljes négyzet.
Minthogy

\begin{matrix} N = a 10^{5} + b 10^{4} + c 10^{3} + d 10^{2} + e 10 + f \end{matrix}

és

\begin{matrix} N' = f 10^{5} + e 10^{4} + d 10^{3} + c 10^{2} + b 10 + a, \end{matrix}

\begin{matrix} N + N' = (a + f) 10^{5} + (b + e) 10^{4} + (c + d) 10^{3} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (d + c) 10^{2} + (e + b) 10 + f + a \end{matrix}

De ezen számnál a páros helyeken álló számjegyek összege egyenlő a páratlan helyeken álló számjegyek összegével, azaz

\begin{matrix} (a + f) + (c + d) + (e + b) = (b + e) + d + c) + (f + a) \end{matrix}

vagyis

N + N' = k \cdot 11.

Két teljes négyzet összege azonban csak akkor osztható

11

-gyel, ha mindegyik külön-külön osztható

11

-gyel és így

\begin{matrix} N = m \cdot 11 \end{matrix}

és

\begin{matrix} p = n \cdot 11 \end{matrix}

Minthogy pedig

N

hatjegyű szám

\begin{matrix} 10^{5} < N < 10^{6}, \end{matrix}

\begin{matrix} 316 < p < 1000. \end{matrix}

Másrészt minthogy

N

vagy

1,

vagy

4,

vagy

5,

vagy

6,

vagy

9

-czel kezdődik,

N

csak a következő határok közt fekhetik:

\begin{matrix} 100000 és 200000 \end{matrix}

\begin{matrix} 400000 és 700000 \end{matrix}

\begin{matrix} 900000 és 1000000. \end{matrix}

\begin{matrix} 316 < p < 448 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 632 < p < 837 \end{matrix}

vagy végre

\begin{matrix} 918 < p < 1000. \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

p

oly többszöröse a

11

-nek, mely a fönntebbi határok közt fekszik.
Hogy a további keresést megkönnyítsük, jegyezzük meg, miszerint ha

N

első számjegye

5,

N'

utolsó számjegye szintén

5

; és minthogy minden

5

-re végződő teljes négyzetben a tízes helyen álló számjegy

2

, az

N

második számjegye ez esetben szintén

2

és így

\begin{matrix} 520000 < N < 530000 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 721 < p < 729 \end{matrix}

Minthogy ezen határok között egyedül

726

többszöröse a

11

-nek és ennek négyzete nem felel meg a feladatnak, kimondhatjuk, hogy

N

nem foglaltatik

500000

és

600000

között és

p

nem fordulhat elő

708

és

774

között és nem is végződhetik

5

-tel. Jegyezzük meg továbbá, hogy ha valamely teljes négyzet utolsó számjegye

1, 4

vagy

9

, a tízes helyen álló számjegy páros és ha az utolsó számjegy

6

az utolsó-előtti páratlan. Ha tehát

N

első számjegye

1, 4

vagy

9

, a második páros, míg ha az első

6

a második páratlan.
Ugyanis

1, 4

és

9

-czel a következő alakú számok négyzetei végződnek:

\begin{matrix} 10 q + 1, 10 q \pm 2, 10 q \pm 3 \end{matrix}

és ezek

\begin{matrix} 100 q^{2} + 10 \cdot 2 q + 1, 100 q^{2} p m 10 \cdot 4 q 4, 100 q^{2} \pm 10 \cdot 6 q + 9 \end{matrix}

míg

6

-tal a következő alakú számok végződnek

\begin{matrix} 10 q \pm 4 \end{matrix}

melyek négyzete

\begin{matrix} 100^{2} \pm 10 \cdot 8 q + 16 = 100 q^{2} + 10 (\pm 8 q + 1) + 6, \end{matrix}

a mivel fentebbi állításaink igazolvák.
Mindezek után csak a következő

11

-gyel osztható számok jöhetnek tekintetbe:

\begin{matrix} 319, 330, 352, 407, 429, 638, 649, 682, 693, 836, 990, \end{matrix}

melyek közül

\begin{matrix} 330, 836 és 990 \end{matrix}

elégítik ki a feladatot. Ezek négyzetei ugyanis

\begin{matrix} 108900, 698896, 980100 \end{matrix}

és ezek megfordítva szintén teljes négyzeteket szolgáltatnak.