Feladat: 740. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Czank K. ,  Fekete N. ,  Filkorn J. ,  Grosz K. ,  Kerekes T. ,  Klein A. ,  Krausz B. ,  Krisztián György ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Messik G. ,  Messik V. ,  Perl Gy. ,  Perlesz D. ,  Póka Gy. ,  Reich Zs. ,  Sasvári G. ,  Smodics K. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1900/április, 157 - 158. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt háromszög, Magasságpont, Körülírt kör, Paralelogrammák, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/október: 740. matematika feladat

Rajzoljuk meg az ABC háromszöghöz tartozó A1B1C1 talpponti háromszöget. Mutassuk meg, hogy AB1C1,BA1C1 és CA1B1 háromszögek magassági pontjai által meghatározott háromszög a talpponti háromszöggel egybevágó s magassági pontja az ABC háromszög köré írható kör középpontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az ABC,AB1C1,BA1C1 és CA1B1 háromszögek magassági pontjai: M,M1,M2, és M3.

 

 

Minthogy B1M1C1M és C1M1MB1 azért MB1M1C1 négyszög egyenközény, tehát C1M1=MB1. Hasonlóképp C1M2=MA1, miből következik, hogy C1M1M2MA1B1. Ennélfogva M1M2 egyenlő és párhuzamos A1B1-gyel. Épp így kimutathatjuk, hogy M2M3#B1C1 és M3M1#A1C1 s így
M1M2M3A1B1C1.
Hogy a feladat második részét bebizonyíthassuk, csak annyit kell kimutatnunk, hogy az OA,OB és OC sugarak a talpponti háromszög oldalaira merőlegesek, mert akkor e sugarak az M1M2M3 háromszög oldalaira is merőlegesek és eme háromszög M1,M2 és M3 csúcsain is keresztül mennek; miből következik, hogy e sugarak az M1M2M3 háromszög magasságaival egybe esnek.
Rajzoljuk meg pl. az AOD átmérőt, mely a talpponti háromszög B1C1 oldalát E-ben metszi. Ekkor ADC=ABC=β, ACD=90, tehát EAB1=90-β; minthogy pedig (BC1B1C húrnégyszög lévén) AB1C1=β, azért OA valóban merőleges B1C1-re s így M2M3-ra is.
 
(Krisztián György, Pécs.)

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Czank K., Fekete N., Filkorn J., Grosz K., Kerekes T., Klein A., Krausz B., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Perlesz D., Póka Gy., Reich Zs., Sasvári G., Smodics K., Wohlstein S.