Kezdőlap


Feladat:	740. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Czank K. , Fekete N. , Filkorn J. , Grosz K. , Kerekes T. , Klein A. , Krausz B. , Krisztián György , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Messik V. , Perl Gy. , Perlesz D. , Póka Gy. , Reich Zs. , Sasvári G. , Smodics K. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/április, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt háromszög, Magasságpont, Körülírt kör, Paralelogrammák, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/október: 740. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C, A B_{1} C_{1}, B A_{1} C_{1}$ és $C A_{1} B_{1}$ háromszögek magassági pontjai: $M, M_{1}, M_{2},$ és $M_{3}$ .

Minthogy

B_{1} M_{1} ∥ C_{1} M

és

C_{1} M_{1} ∥ M B_{1}

azért

M B_{1} M_{1} C_{1}

négyszög egyenközény, tehát

C_{1} M_{1} = M B_{1}

. Hasonlóképp

C_{1} M_{2} = M A_{1}

, miből következik, hogy

C_{1} M_{1} M_{2} ▵ ≅ M A_{1} B_{1} ▵

. Ennélfogva

M_{1} M_{2}

egyenlő és párhuzamos

A_{1} B_{1}

-gyel. Épp így kimutathatjuk, hogy

M_{2} M_{3} # B_{1} C_{1}

és

M_{3} M_{1} # A_{1} C_{1}

s így

\begin{matrix} M_{1} M_{2} M_{3} ▵ ≅ A_{1} B_{1} C_{1} ▵ . \end{matrix}

Hogy a feladat második részét bebizonyíthassuk, csak annyit kell kimutatnunk, hogy az

O A, O B

és

O C

sugarak a talpponti háromszög oldalaira merőlegesek, mert akkor e sugarak az

M_{1} M_{2} M_{3}

háromszög oldalaira is merőlegesek és eme háromszög

M_{1}, M_{2}

és

M_{3}

csúcsain is keresztül mennek; miből következik, hogy e sugarak az

M_{1} M_{2} M_{3}

háromszög magasságaival egybe esnek.
Rajzoljuk meg pl. az

A O D

átmérőt, mely a talpponti háromszög

B_{1} C_{1}

oldalát

E

-ben metszi. Ekkor

A D C ∢ = A B C ∢ = β

A C D ∢ = 90^{\circ}

, tehát

E A B_{1} ∢ = 90^{\circ} - β

; minthogy pedig

(B C_{1} B_{1} C

húrnégyszög lévén)

A B_{1} C_{1} ∢ = β

, azért

O A

valóban merőleges

B_{1} C_{1}

-re s így

M_{2} M_{3}

-ra is.

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Czank K., Fekete N., Filkorn J., Grosz K., Kerekes T., Klein A., Krausz B., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Perlesz D., Póka Gy., Reich Zs., Sasvári G., Smodics K., Wohlstein S.