Kezdőlap


Feladat:	731. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czank K. , Faith F. , Filkorn Jenő , Frank J. , Gellért J. , Keesz J. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Perl Gy. , Russo M. , Sasvári G. , Scharff J. , Smodics K. , Spitzer H. , Stromfeld F. , Tézner E. , Weisz A.
Füzet:	1900/január, 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Tengely körüli forgatás, Csonkakúp, Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/szeptember: 731. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A forgási test felszíne egyenlő két csonka kúp palástjának és egy körgyűrű területének összegével; a csonka kúpok egyikénél az alapok sugarai $4 b sin \frac{α}{2}$ és $3 b sin \frac{α}{2}$ , a másiknál $3 b sin \frac{α}{2}$ és $2 b sin \frac{α}{2}$ ; oldalvonaluk egyenlő $(b)$ ; a körgyűrűnél pedig a nagyobb kör sugara $4 b sin \frac{α}{2}$ , a kisebbé $2 b sin \frac{α}{2}$ . Így tehát az egész felszín

\begin{matrix} F = (4 b sin \frac{α}{2} + 3 b sin \frac{α}{2}) π b + (3 b sin \frac{α}{2} + 2 b sin \frac{α}{2}) π b + \end{matrix}

\begin{matrix} + (4 b sin \frac{α}{2} + 2 b sin \frac{α}{2}) π 2 b sin \frac{α}{2} = 12 π b^{2} sin \frac{α}{2} (1 + sin \frac{α}{2}) . \end{matrix}

A forgási test köbtartalma pedig az említett csonka kúpok köbtartalmainak a külömbségével egyenlő

\begin{matrix} K = \frac{1}{3} π b cos \frac{α}{2} (16 b^{2} sin^{2} \frac{α}{2} + 12 b^{2} sin^{2} \frac{α}{2} + 9 b^{2} sin^{2} \frac{α}{2}) - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{1}{3} π b cos \frac{α}{2} (9 b^{2} sin^{2} \frac{α}{2} + 6 b^{2} sin^{2} \frac{α}{2} + (4 b^{2} sin^{2} \frac{α}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 6 π b^{3} sin^{2} \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} . \end{matrix}

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

A feladatot még megoldották: Czank K., Faith F., Frank J., Gellért J., Keesz J., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Russo M., Sasvári G., Scharff J., Smodics K., Stromfeld F., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Perl Gy., Spitzer H., Tézner E., Weisz A.