Feladat: 127. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Grossmann Gusztáv ,  Meitner Elemér ,  Visnya Aladár 
Füzet: 1895/május, 138. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körülírt kör, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/március: 127. matematika feladat

Ha l és l' egy háromszög C szögének és mellékszögének felező egyenesei, akkor
l'2+l2=64R2S2(a2-b2)2
hol R a háromszög körül írt kör sugara és S a háromszög területe.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messe az l és l' egyenes az AB oldalt, illetőleg annak meghosszabbítását D és E pontokban; akkor, minthogy ll', következik, hogy:

l2+l'2=DE2(1)
Másrészt
AD:BD=AE:BE=b:a
vagy
AD:AB=b:(b+a)
AE:AB=b:(b-a)
miből
AD=bcb+a
AE=bcb-a
és így
DE=bcb-a-bcb+a=2abcb2-a2
DE2=4a2b2c2(a2-b2)2
minthogy azonban
abc=4RS
azért
l2+l'2=64R2S2(a2-b2)2

(Grosmann Gusztáv, fg. VIII. o. t. Budapest.)
 

A feladatot még megodották: Meitner Elemér, fr. VIII. o. t. Budapest, Visnya Aladár, fr. VII. Pécs.