Kezdőlap


Feladat:	125. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meitner Elemér , Sramkó Loránd
Füzet:	1895/május, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Egyenes, Ellipszis, mint mértani hely, Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Háromszögek hasonlósága, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/március: 125. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük az ellipszis nagytengelyének végpontjait $A$ - és $A'$ -nek és legyen $P$ az ellipszis pontja, melyben hozzá érintőt húzunk. Legyenek az ellipszis gyújtópontjaiból $(F_{1} és F_{2})$ az érintőre húzott merőlegesek talppontjai $G_{1}$ és $G_{2}$ , akkor könnyen kimutatható, hogy $A G_{1} G_{2} A'$ négyszög az ellipszissel konczentrikus és a fél nagy tengellyel, mint sugárral leírt körbe van írva.
Ugyanis $C G_{1} ∥ F_{2} F'_{1}$ , hol $C$ az ellipszis középpontja és $F_{1}'$ az $F_{1} G_{1}$ és $F_{2} P$ egyenesek metszéspontja. De az ellipszis ismert tulajdonságainál fogva $F_{2} F_{1}' = 2 a$ , tehát $C G_{1} = a$ . Hasonlóképpen kimutatható, hogy $C G_{2} = a$ .
Legyen $A A'$ és $G_{1} G_{2}$ egyenesek metszéspontja $0$ . Akkor a kör és szelőinek ismert tulajdonságainál fogva

\begin{matrix} O G_{1} \cdot O G_{2} = O A \cdot O A', \end{matrix}

vagy ha

O C

-t

d

-vel jelölöm:

\begin{matrix} O G_{1} \cdot O G_{2} = (d - a) (d + a) = d^{2} - a^{2} \end{matrix}

(1)

Másrészt

\begin{matrix} O G_{1} : O G_{2} = O F_{1} : O F_{2} = (d - c) : (d + c) \end{matrix}

(2)

Ha most megrajzolva képzelem a kört, mely

F_{1}

és

F_{2}

-n keresztül megy és az

O P

-t

M

-ben érinti, e körre vonatkozólag felírhatom, miszerint

\begin{matrix} O M^{2} = O F_{1} \cdot O F_{2} = (d - c) (d + c) \end{matrix}

Határozzuk már most meg az

M

pontot coordinátái,

C K

és

K M

által.

\begin{matrix} K M^{2} = O M^{2} - O K^{2} \end{matrix}

és

O K

O M K

és

O F_{1} G_{1}

háromszögek hasonlósága miatt

\begin{matrix} O K = O M \frac{O G_{1}}{O F_{1}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} O K^{2} = O M^{2} \frac{O G_{1}^{2}}{O F_{1}^{2}} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} K M^{2} = O M^{2} (1 - \frac{O G_{1}^{2}}{O F_{1}^{2}}); \end{matrix}

O G_{1}^{2}

1)

és

2)

alatti egyenletekből

\begin{matrix} O G_{1}^{2} = (d^{2} - a^{2}) \frac{d - c}{d + c} \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} K M^{2} = O M^{2} (1 - \frac{d^{2} - a^{2}}{d^{2} - c^{2}}) = (d^{2} - c^{2}) - (d^{2} - a^{2}) = a^{2} - c^{2} = b^{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} K M = \pm b \end{matrix}

M

pont mértani helye tehát két egyenes, még pedig az ellipszisnek a

B

és

B'

csúcspontjain keresztül menő két érintője.

(Meitner Elemér fr. VIII. o. t. Budapest).

A feladatot még megoldotta Sramkó Loránd, fg. VIII. o. t. Rimaszombat.