Feladat: 125. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Meitner Elemér ,  Sramkó Loránd 
Füzet: 1895/május, 136 - 137. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellipszis egyenlete, Egyenes, Ellipszis, mint mértani hely, Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Háromszögek hasonlósága, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/március: 125. matematika feladat

Egy ellipszis gyújtópontjain keresztül kört rajzolunk, mely az ellipszis egy tetszőleges érintőjét M pontban érinti. Mi ezen M pont mértani helye, ha az érintő folytonosan változtatja helyét?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük az ellipszis nagytengelyének végpontjait A- és A'-nek és legyen P az ellipszis pontja, melyben hozzá érintőt húzunk. Legyenek az ellipszis gyújtópontjaiból (F1ésF2) az érintőre húzott merőlegesek talppontjai G1 és G2, akkor könnyen kimutatható, hogy AG1G2A' négyszög az ellipszissel konczentrikus és a fél nagy tengellyel, mint sugárral leírt körbe van írva.
Ugyanis CG1F2F'1, hol C az ellipszis középpontja és F1' az F1G1 és F2P egyenesek metszéspontja. De az ellipszis ismert tulajdonságainál fogva F2F1'=2a, tehát CG1=a. Hasonlóképpen kimutatható, hogy CG2=a.
Legyen AA' és G1G2 egyenesek metszéspontja 0. Akkor a kör és szelőinek ismert tulajdonságainál fogva

OG1OG2=OAOA',
vagy ha OC-t d-vel jelölöm:
OG1OG2=(d-a)(d+a)=d2-a2(1)
Másrészt
OG1:OG2=OF1:OF2=(d-c):(d+c)(2)

Ha most megrajzolva képzelem a kört, mely F1 és F2-n keresztül megy és az OP-t M-ben érinti, e körre vonatkozólag felírhatom, miszerint
OM2=OF1OF2=(d-c)(d+c)
Határozzuk már most meg az M pontot coordinátái, CK és KM által.
KM2=OM2-OK2
és OK az OMK és OF1G1 háromszögek hasonlósága miatt
OK=OMOG1OF1
s így
OK2=OM2OG12OF12
tehát
KM2=OM2(1-OG12OF12);
de OG12 az 1) és 2) alatti egyenletekből
OG12=(d2-a2)d-cd+c
ennélfogva
KM2=OM2(1-d2-a2d2-c2)=(d2-c2)-(d2-a2)=a2-c2=b2
miből
KM=±b

Az M pont mértani helye tehát két egyenes, még pedig az ellipszisnek a B és B' csúcspontjain keresztül menő két érintője.
 
(Meitner Elemér fr. VIII. o. t. Budapest).

A feladatot még megoldotta Sramkó Loránd, fg. VIII. o. t. Rimaszombat.