Kezdőlap


Feladat:	119. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böhm Ottó , Donath Dezső , Fuchs Gyula , Goldberger Leó , Grossmann Gusztáv , Grünhut Béla , Imre János , Kirchknopf Ferencz , Krausz Mihály , Meitner Elemér , Pósch Gyula , Reif Jenő , Suták Sándor , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/május, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Háromszögek szerkesztése, Beírt háromszög, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/március: 119. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A' B' C'$ háromszög oldalainak egyenlősége abból következik, hogy az $A B' C', B C' A', C A' B'$ háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk rendre egyenlő egymással és az általuk bezárt szögek közös értéke $60^{\circ}$ .
A feladat második részére vonatkozólag látjuk az $A B' C'$ háromszögből, hogy

\begin{matrix} l^{2} = x^{2} + {(a - x)}^{2} - 2 x (a - x) \frac{1}{2} \end{matrix}

vagy redukálva

\begin{matrix} x^{2} - 3 a x + a^{2} - l^{2} = 0. \end{matrix}

(1)

Hogy ezen egyenlet gyökei valósak legyenek, kell, hogy

\begin{matrix} 9 a^{2} - 12 (a^{2} - l^{2}) ≧ 0 \end{matrix}

vagy egyszerűsítve

\begin{matrix} 1 \geq \frac{a}{2} \end{matrix}

l

-nek minimuma tehát

\frac{a}{2}

. A

l

ezen értékénél az

1)

gyökei egyenlők s egy háromszög felel meg a feladat követelményeinek, t. i. az, melynek csúcspontjait az eredeti háromszög oldalainak felezőpontjai alkotják.
Ha

l < a

, akkor

\frac{a^{2} - l^{2}}{3} > 0

. Az

1)

alatti egyenlet gyökei egyenlő-előjelűek s minthogy félösszegük

\frac{a}{2}

positív, mindkettő positív. Ez esetben két háromszög elégíti ki a feladat követelményeit, melyeknek csúcspontjai páronkint szimmetrikus fekvésűek az

A B C

háromszög oldalainak felező pontjaira nézve.
Ha

l = a

, akkor

x_{1} = 0, x_{2} = a

; mindkét érték magát az

A B C

háromszöget szolgáltatja.
Ha

l > a

, akkor

\frac{a^{2} - l^{2}}{3} < 0

, azaz a gyökök ellentett előjelűek s a feladatnak látszólag csak egy megoldása van. De ha

α

negatív értékének megfelelőleg az

A B, B C, C A

oldalokra, illetőleg azok meghosszabbításaira, az

A, B, C

pontokból a

B A, C B, A C

irányokban mérünk le egyenlő hosszakat, az

l > a

esetére is két megoldást találunk, s a megfelelő háromszögek csúcsai most is páronkint szimmetrikus helyzetűek az oldalok felező pontjaira nézve.

A feladatot megoldották: Böhm Ottó, fg. VII. Budapest; Donath Dezső, fg. VII. Budapest; Fuchs Gyula, fr. VI. Pécs; Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Kirchknopf Ferencz, fg. VII. Budapest; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Krausz Mihály, fr. VII. Budapest; Meitner Elemér, fg. VIII. Budapest; Pósch Gyula, fg. VII. Budapest; Reif Jenő, fr. VI. Pécs; S.A-Ujhelyi főgymn. VII. o. tanulói; Suták Sándor, fg. VIII. Nyíregyháza; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs.