Feladat: 119. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Böhm Ottó ,  Donath Dezső ,  Fuchs Gyula ,  Goldberger Leó ,  Grossmann Gusztáv ,  Grünhut Béla ,  Imre János ,  Kirchknopf Ferencz ,  Krausz Mihály ,  Meitner Elemér ,  Pósch Gyula ,  Reif Jenő ,  Suták Sándor ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót 
Füzet: 1895/május, 134 - 135. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Háromszögek szerkesztése, Beírt háromszög, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/március: 119. matematika feladat

Adva lévén az ABC egyenoldalú háromszög, melynek oldalhossza a, az AB,BCésCA oldalokra rávisszük az AC',BA'ésCB' hosszakat, melyek mind egyenlők x-szel. Bizonyíttassék be, hogy:
1 Az A'B'C' háromszög egyenlő oldalú.
2 Hogy x oly módon választható, miszerint az A'B'C' háromszög oldala adott l hosszúsággal lesz egyenlő.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A'B'C' háromszög oldalainak egyenlősége abból következik, hogy az AB'C',BC'A',CA'B' háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk rendre egyenlő egymással és az általuk bezárt szögek közös értéke 60.
A feladat második részére vonatkozólag látjuk az AB'C' háromszögből, hogy

l2=x2+(a-x)2-2x(a-x)12
vagy redukálva
x2-3ax+a2-l2=0.(1)

Hogy ezen egyenlet gyökei valósak legyenek, kell, hogy
9a2-12(a2-l2)0
vagy egyszerűsítve
1a2

Az l-nek minimuma teháta2. A l ezen értékénél az 1) gyökei egyenlők s egy háromszög felel meg a feladat követelményeinek, t. i. az, melynek csúcspontjait az eredeti háromszög oldalainak felezőpontjai alkotják.
Ha l<a, akkor a2-l23>0. Az 1) alatti egyenlet gyökei egyenlő-előjelűek s minthogy félösszegük a2 positív, mindkettő positív. Ez esetben két háromszög elégíti ki a feladat követelményeit, melyeknek csúcspontjai páronkint szimmetrikus fekvésűek az ABC háromszög oldalainak felező pontjaira nézve.
Ha l=a, akkor x1=0,x2=a; mindkét érték magát az ABC háromszöget szolgáltatja.
Ha l>a, akkor a2-l23<0, azaz a gyökök ellentett előjelűek s a feladatnak látszólag csak egy megoldása van. De ha α negatív értékének megfelelőleg az AB,BC,CA oldalokra, illetőleg azok meghosszabbításaira, az A,B,C pontokból a BA,CB,AC irányokban mérünk le egyenlő hosszakat, az l>a esetére is két megoldást találunk, s a megfelelő háromszögek csúcsai most is páronkint szimmetrikus helyzetűek az oldalok felező pontjaira nézve.
 

A feladatot megoldották: Böhm Ottó, fg. VII. Budapest; Donath Dezső, fg. VII. Budapest; Fuchs Gyula, fr. VI. Pécs; Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Kirchknopf Ferencz, fg. VII. Budapest; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Krausz Mihály, fr. VII. Budapest; Meitner Elemér, fg. VIII. Budapest; Pósch Gyula, fg. VII. Budapest; Reif Jenő, fr. VI. Pécs; S.A-Ujhelyi főgymn. VII. o. tanulói; Suták Sándor, fg. VIII. Nyíregyháza; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs.