Feladat: 118. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Grossmann Gusztáv ,  Grünhut Béla ,  Imre János ,  Reif Jenő ,  Weisz Lipót 
Füzet: 1895/május, 130 - 131. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/március: 118. matematika feladat

Oldassék meg a következő egyenlet:
1-ax1+ax1+bx1-bx=1.
Az a és b mely értékeinél lesznek az egyenlet gyökei valósak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldassék meg a következő egyenlet:

1-ax1+ax1+bx1-bx=1.(1)
Az a és b mely értékeinél lesznek az egyenlet gyökei valósak?
 

Ha négyzetre emeljük az egyenlet két oldalát és eltávolítjuk a nevezőket, a következő egyenletet nyerjük:
(1-ax)2(1+bx)=(1+ax)2(1-bx),(2)
vagy rendezve ezt
a2bx3-(2a-b)x=0
Ezen egyenlet gyökei
1x=0

2x=±1a2a-bb

Hogy ezek valósak legyenek, kell, hogy
ab12

Szerkesztő jegyzete:
A 2) alatti egyenlet gyökei az 1) alatti egyenletet kielégítik ugyan, de bizonyos esetekben csak a négyzetgyök positív, másokban meg annak negatív értéke mellett. Hogy a gyök positív értéke mellett a 2) gyökei egyszersmind az 1) gyökei is legyenek, kell, hogy az
1-ax1+ax
és vele együtt az
(1-ax)(1+ax)=(1-a2x2)
kifejezés positív legyen, ha x helyébe a 2) egyenlet gyökeit tesszük, vagyis ha
1-2a-ba>0
vagyis ha
ab<1
Hogy tehát az 1) alatti egyenletet kielégítsék a 2) gyökei a négyzetgyök positív értékei mellett, kell, hogy ab az 12 és 1 közé essék.
Ha ab>1 a 2) gyökei az
1-ax1+ax1+bx1-bx=-1
egyenletet elégítik ki, hol a négyzetgyökét ismét positív értékűnek vesszük.
Ha ab=1 a 2) gyökei közül csak az x=0 elégíti ki az 1) alatti egyenletet, míg az x=+1a=+1b az 1)-nek egyáltalában nem is gyöke.
 
A feladatot megoldották: Budapesti ág. hitv. ev. főgymn. VII. osztálya; Grossmann Gusztáv fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla; fr. VI. Pécs; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Reif Jenő, fr. VI. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs.
 
Beérkezett még 10 megoldás, melyek részben hibásak, részben még annyira sem teljesek, mint a fenti 6 ifjú munkatársunké.