Kezdőlap


Feladat:	118. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grossmann Gusztáv , Grünhut Béla , Imre János , Reif Jenő , Weisz Lipót
Füzet:	1895/május, 130 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/március: 118. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldassék meg a következő egyenlet:

\begin{matrix} \frac{1 - a x}{1 + a x} \sqrt[]{\frac{1 + b x}{1 - b x}} = 1. \end{matrix}

(1)

a

és

b

mely értékeinél lesznek az egyenlet gyökei valósak?

Ha négyzetre emeljük az egyenlet két oldalát és eltávolítjuk a nevezőket, a következő egyenletet nyerjük:

\begin{matrix} {(1 - a x)}^{2} (1 + b x) = {(1 + a x)}^{2} (1 - b x), \end{matrix}

(2)

vagy rendezve ezt

\begin{matrix} a^{2} b x^{3} - (2 a - b) x = 0 \end{matrix}

Ezen egyenlet gyökei

\begin{matrix} 1^{\circ} x = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 2^{\circ} x = \pm \frac{1}{a} \sqrt[]{\frac{2 a - b}{b}} \end{matrix}

Hogy ezek valósak legyenek, kell, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{b} \geq \frac{1}{2} \end{matrix}

Szerkesztő jegyzete:
A

2)

alatti egyenlet gyökei az

1)

alatti egyenletet kielégítik ugyan, de bizonyos esetekben csak a négyzetgyök positív, másokban meg annak negatív értéke mellett. Hogy a gyök positív értéke mellett a

2)

gyökei egyszersmind az

1)

gyökei is legyenek, kell, hogy az

\begin{matrix} \frac{1 - a x}{1 + a x} \end{matrix}

és vele együtt az

\begin{matrix} (1 - a x) (1 + a x) = (1 - a^{2} x^{2}) \end{matrix}

kifejezés positív legyen, ha

x

helyébe a

2)

egyenlet gyökeit tesszük, vagyis ha

\begin{matrix} 1 - \frac{2 a - b}{a} > 0 \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} \frac{a}{b} < 1 \end{matrix}

Hogy tehát az

1)

alatti egyenletet kielégítsék a

2)

gyökei a négyzetgyök positív értékei mellett, kell, hogy

\frac{a}{b}

\frac{1}{2}

és

1

közé essék.
Ha

\frac{a}{b} > 1

2)

gyökei az

\begin{matrix} \frac{1 - a x}{1 + a x} \sqrt[]{\frac{1 + b x}{1 - b x}} = - 1 \end{matrix}

egyenletet elégítik ki, hol a négyzetgyökét ismét positív értékűnek vesszük.
Ha

\frac{a}{b} = 1

2)

gyökei közül csak az

x = 0

elégíti ki az

1)

alatti egyenletet, míg az

x = + \frac{1}{a} = + \frac{1}{b}

1)

-nek egyáltalában nem is gyöke.

A feladatot megoldották: Budapesti ág. hitv. ev. főgymn. VII. osztálya; Grossmann Gusztáv fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla; fr. VI. Pécs; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Reif Jenő, fr. VI. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs.

Beérkezett még 10 megoldás, melyek részben hibásak, részben még annyira sem teljesek, mint a fenti 6 ifjú munkatársunké.