Feladat: 102. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Grossmann Gusztáv 
Füzet: 1895/március, 103 - 105. oldal  PDF file
Témakör(ök): Fizikai jellegű feladatok, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Paraméteres egyenlőtlenségek, Feladat, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/január: 102. matematika feladat

Valamely súlyos testet a kezdősebességgel függélyesen felhajítok. Mekkora b sebességgel kell τ idővel később egy másik súlyos testet feldobnom, hogy a két test találkozzék
1) egyáltalában,
2) míg az első még emelkedőfélben van,
3) mikor az első emelkedésének tetőpontját érte el, és végre
4) mikor az első alászálló-félben van.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg a két súlyos test helyzetét a t>τ időpontban. Az elsőnek távolsága a kiindulásponttól

at-12gt2,
a másodiké
b(t-τ)-12g(t-τ)2.
Hogy e két távolság egymással egyenlő legyen, kell, hogy:
at-12gt2=bτ-bt-12gt2+gtτ-12gτ2
azaz
t=-bτ-12gτ2(a-gτ)-b.1)
Hogy ez pozitív és véges érték legyen, azaz, hogy a testek egyáltalában találkozhassanak, kell, hogy
b>a-gτ2)
vagyis hogy a kezdő b sebesség okvetlenül nagyobb legyen az első test azon sebességénél, mellyel ez a τ időpontban rendelkezik. Tényleg, ha b<a-gt , a második test már előbb kezd esni, mielőbb az első tetőpontját elérte volna, s így semmi esetre sem találkozhatnak. Ha b=a-gτ az 1) értelmében t végtelen nagy. Valóban ekkor a t=τ időponttól kezdve a két test állandó távolságra van egymástól.
Ha b>a-gτ a második, harmadik vagy negyedik eset a szerint következik be, miszerint
bτ+12gτ2b-(a-gτ)ag
vagy
b(ag-τ)a(ag-τ)+12gτ2.2)
Ha τ<ag, akkor
ba+12gτ2ag-τ;
ha azonban τag, a 2)-ből b értékére semmi következtetést nem vonhatunk, mert az τ=ag esetben a b szorzója zérus; a τ>ag esetben a 2) a következő alakot nyeri
b(τ-ag)a(τ-ag)-12gτ2=-12g[(gτ-a)2+a2)]
melyből
b-(gτ-a)2+a22(gτ-a)
azaz b kisebb, egyenlő vagy nagyobb egy negatív mennyiségnél.
Ekkor a találkozás helyét a következőképpen határozzuk meg.
10.τ=ag. A második test akkor kezd emelkedni, midőn az első esni kezd. Ezen időponttól számított t idő múlva a két test helyzete
bt-gt22=a22g-gt22
miből
t=a22bg.

Itt azon kérdés merülhet fel, mekkorának kell a b-t választani, hogy a leeső első test a második testet emelkedő, nyugvó vagy eső helyzetben találja. Ez a szerint következik be, miszerint
a22bgbg
vagyis a szerint, amint
ba2

20.τ=ag+τ'. A két test helyzete t idő múlva a következő egyenletből határozható meg:
bt-gt22=a22g-g2(τ'+t)2=a22g-g2τ'2-gτ't-g2t2
t(b+gτ')=a22g-gτ'22
t=a2-g2τ'22g(b+gτ')
Ismét három eset lehetséges, t. i.
a2-g2τ'22g(b+gτ')bg
a2-g2τ'22b(b+gτ')
2b2+2gτ'b-a2+g2τ'20
miből
b-12gτ'+122a2-g2τ'2

Grossmann Gusztáv, főgymn. VIII. o. t. Budapest