Kezdőlap


Feladat:	102. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grossmann Gusztáv
Füzet:	1895/március, 103 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Paraméteres egyenlőtlenségek, Feladat, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/január: 102. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg a két súlyos test helyzetét a $t > τ$ időpontban. Az elsőnek távolsága a kiindulásponttól

\begin{matrix} a t - \frac{1}{2} g t^{2}, \end{matrix}

a másodiké

\begin{matrix} b (t - τ) - \frac{1}{2} g {(t - τ)}^{2} . \end{matrix}

Hogy e két távolság egymással egyenlő legyen, kell, hogy:

\begin{matrix} a t - \frac{1}{2} g t^{2} = b t - b τ - \frac{1}{2} g t^{2} + g t τ - \frac{1}{2} g τ^{2} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} t = \frac{- b τ - \frac{1}{2} g τ^{2}}{(a - g τ) - b} . \end{matrix}

Hogy ez pozitív és véges érték legyen, azaz, hogy a testek egyáltalában találkozhassanak, kell, hogy

\begin{matrix} b > a - g τ \end{matrix}

vagyis hogy a kezdő

b

sebesség okvetlenül nagyobb legyen az első test azon sebességénél, mellyel ez a

τ

időpontban rendelkezik. Tényleg, ha

b < a - g t

, a második test már előbb kezd esni, mielőbb az első tetőpontját elérte volna, s így semmi esetre sem találkozhatnak. Ha

b = a - g τ

az 1) értelmében

t

végtelen nagy. Valóban ekkor a

t = τ

időponttól kezdve a két test állandó távolságra van egymástól.
Ha

b > a - g τ

a második, harmadik vagy negyedik eset a szerint következik be, miszerint

\begin{matrix} \frac{b τ + \frac{1}{2} g τ^{2}}{b - (a - g τ)} ⋚ \frac{a}{g} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} b (\frac{a}{g} - τ) ⋛ a (\frac{a}{g} - τ) + \frac{1}{2} g τ^{2} . \end{matrix}

τ < \frac{a}{g}

, akkor

\begin{matrix} b ≷ a + \frac{\frac{1}{2} g τ^{2}}{\frac{a}{g} - τ}; \end{matrix}

ha azonban

τ \geq \frac{a}{g}

, a 2)-ből

b

értékére semmi következtetést nem vonhatunk, mert az

τ = \frac{a}{g}

esetben a

b

szorzója zérus; a

τ > \frac{a}{g}

esetben a 2) a következő alakot nyeri

\begin{matrix} b (τ - \frac{a}{g}) ⋚ a (τ - \frac{a}{g}) - \frac{1}{2} g τ^{2} = - \frac{1}{2 g} [{(g τ - a)}^{2} + a^{2})] \end{matrix}

melyből

\begin{matrix} b ⋚ - \frac{{(g τ - a)}^{2} + a^{2}}{2 (g τ - a)} \end{matrix}

azaz

b

kisebb, egyenlő vagy nagyobb egy negatív mennyiségnél.
Ekkor a találkozás helyét a következőképpen határozzuk meg.

1^{0} . τ = \frac{a}{g}

. A második test akkor kezd emelkedni, midőn az első esni kezd. Ezen időponttól számított

t

idő múlva a két test helyzete

\begin{matrix} b t - \frac{g t^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2 g} - \frac{g t^{2}}{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} t = \frac{a^{2}}{2 b g} . \end{matrix}

Itt azon kérdés merülhet fel, mekkorának kell a

b

-t választani, hogy a leeső első test a második testet emelkedő, nyugvó vagy eső helyzetben találja. Ez a szerint következik be, miszerint

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{2 b g} ⋚ \frac{b}{g} \end{matrix}

vagyis a szerint, amint

\begin{matrix} b ⋛ \frac{a}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

2^{0} . τ = \frac{a}{g} + τ'

. A két test helyzete

t

idő múlva a következő egyenletből határozható meg:

\begin{matrix} b t - \frac{g t^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2 g} - \frac{g}{2} {(τ' + t)}^{2} = \frac{a^{2}}{2 g} - \frac{g}{2} τ'^{2} - g τ' t - \frac{g}{2} t^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} t (b + g τ') = \frac{a^{2}}{2 g} - \frac{g τ'^{2}}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} t = \frac{a^{2} - g^{2} τ'^{2}}{2 g (b + g τ')} \end{matrix}

Ismét három eset lehetséges, t. i.

\begin{matrix} \frac{a^{2} - g^{2} τ'^{2}}{2 g (b + g τ')} ⋚ \frac{b}{g} \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} - g^{2} τ'^{2} ⋚ 2 b (b + g τ') \end{matrix}

\begin{matrix} 2 b^{2} + 2 g τ' b - a^{2} + g^{2} τ'^{2} ⋛ 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} b ⋛ - \frac{1}{2} g τ' + \frac{1}{2} \sqrt[]{2 a^{2} - g^{2} τ'^{2}} \end{matrix}

Grossmann Gusztáv, főgymn. VIII. o. t. Budapest