Feladat: 88. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Jankovich György ,  Meitner Elemér 
Füzet: 1895/március, 98. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Négyszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/október: 88. matematika feladat

ABNM egy derékszögű négyszög. Adva van benne AB,AM, és  AC (hol C az MN egyenes egy pontja) és az ABA'=x szög. A'B=AB és az A' pont az ABNM négyszög belsejébe esik. AB horizontális vonalt, mely B pont körül forgatható, támaszkép tartja MN horizontális vonalon AC vonal. Ha AB vonal leereszkedik, hogy AB helyzetbe jöjjön, horizontális helyzetével tehát x szöget képezzen, AC vonal A'D helyzetbe jő, eltávolodván alsó pontjával C-től D-ig. Milyen nagy CD ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen rövidség kedvéért AB=a,BN=b,AC=c. Húzzuk az A'-ből az MN-re az A'M' merőlegest és a BN-re az A'N' merőlegest. Ekkor az A'MD háromszögből következik, hogy:

A'M'2+M'D2=A'D2
vagy minthogy
A'M'=N'N,  és  A'D=AC=c,
N'N2+M'D2=c2;
de
N'N=BN-BN'=b-asinx
és
M'D=M'N+ND=acosx+ND
így tehát
(b-asinx)2+(acosx+ND)2=c2
(acosx+ND)2=c2-(b-asinx)2
ND=-acosx+[c2-(b-asinx)2]
Másrészt
CN=AB-(AC2-BN2)=a-(c2-b2)
s így tehát a keresett
CD=CN+ND=a(1-cosx)+[c2-(b-asinx)2]-(c2-b2)

A feladatot megoldották: Jankovich György, fg. VIII. Losoncz; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest.