Kezdőlap


Feladat:	1992. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boda Péter , Csörnyei Marianna , Faragó Gergely , Imreh Csanád , Kóczy László , Molnár-Sáska Gábor , Németh Ákos , Pham Minh Tuan , Szeredi Tibor , Tichler Krisztián , Újváry-Menyhárt Zoltán , Valkó Benedek
Füzet:	1993/február, 51 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hatványközép, Középértékek, Egyenlőtlenségek, Azonosságok, Szélsőérték-feladatok, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: 1992. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az adott pozitív számok $a_{1}, a_{2} ..., a_{n}$ . Tudjuk, hogy két pozitív szám közül a köbe a nagyobbnak lesz nagyobb és hasonló áll a pozitív számszorosukra is. A két közép különbsége tehát ugyanolyan előjelű, mint a köbeik különbségének $n {(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})}^{3}$ -szorosa.
Erre a kifejezésre $n = 2$ esetén egyszerű átalakításokkal a következő azonosságot nyerjük:

\begin{matrix} 2 {(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})}^{3} - {(a_{1} + a_{2})}^{3} (a_{1}^{3} + a_{2}^{3}) = {(a_{1} + a_{2})}^{3} (a_{1}^{3} - a_{2}^{3}) . \end{matrix}

Ha tehát

a_{1} = a_{2}

, akkor a különbség

0

, a két közép egyenlő, különben a jobb oldal két tényezője egyező előjelű, így szorzatuk pozitív; a különös közép tehát nagyobb a harmadik hatványközépnél. Eszerint két szám esetén az a) állítás igaz.
Három szám esetén viszont a

c)

állítás az igaz. Ennek igazolására elég megadni egyrészt három olyan számot, amelyek különös közepe nagyobb harmadik hatványközepüknél, másrészt három olyant, amelyekre a különös közép a kisebb. Az előbbi tulajdonságú az

1

1

2

hármas. Erre

\begin{matrix} 3 {(1^{2} + 1^{2} + 2^{2})}^{3} = 648, {(1 + 1 + 2)}^{3} (1^{3} + 1^{3} + 2^{3}) = 640. \end{matrix}

Az utóbbira példa a

2

2

3

hármas. Erre

\begin{matrix} 3 {(2^{2} + 2^{2} + 3^{2})}^{3} = 14739, {(2 + 2 + 3)}^{3} (2^{3} + 2^{3} + 3^{3}) = 14749. \end{matrix}

Ezzel igazoltuk az állítást.
Megjegyzés. Volt, aki három olyan számtól remélte, hogy a harmadik hatványközepük lesz a nagyobb, amelyek közt kicsi, egyenlő különbség van. Ez azonban nem következik be. Ha a három szám

a - b

a

a + b

, ahol

0 < b < a

, akkor a különös közép

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{2} + a^{2} + {(a + b)}^{2}}{3 a} = a + \frac{2 b^{2}}{3 a}, \end{matrix}

a harmadik hatványközép köbe pedig

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{3} + a^{3} + {(a + b)}^{3}}{3} = a^{3} + 2 a b^{2} . \end{matrix}

Mivel az előbbi érték köbe ezzel a két taggal kezdődik, és ehhez további két pozitív tag járul, így az ilyen számhármasoknak mindig a különös közepe nagyobb.

II. megoldás. Jegyezzük meg először, hogy ha a közepek nagyságviszonyát vizsgáljuk, akkor megszorozhatjuk mindegyik számot ugyanazzal a pozitív számmal, hiszen ekkor a két közép is ezzel a számmal szorzódik meg, nagyságviszonyuk tehát nem változik. Így feltehetjük, hogy a számok számtani közepe

1

, mert ha nem így volna, akkor eloszthatjuk mindegyiket a számtani középpel.
Vizsgáljuk a két közép viszonyát olyan számokra, amelyek közül

n - 1

egyenlő és kisebb mint

1

, tehát

1 - c

, ahol

0 < c < 1

, az

n

-edik pedig

1 + (n - 1) c

. Az első megoldás megjegyzésének megfelelően elég a közepek köbének a különbségét vizsgálni. Ez

\begin{matrix} {(\frac{n + n (n - 1) c^{2}}{n})}^{3} - \frac{n + 3 ((n - 1) + {(n - 1)}^{2}) c^{2} + (- (n - 1) + {(n - 1)}^{3}) c^{3}}{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 + 3 (n - 1) c^{2} + 3 {(n - 1)}^{2} c^{4} + {(n - 1)}^{3} c^{6} - 1 - 3 (n - 1) c^{2} - (n - 1) (n - 2) c^{3} = \end{matrix}

\begin{matrix} = - (n - 1) c^{3} (n - 2 - 3 (n - 1) c - {(n - 1)}^{2} c^{3}) . \end{matrix}

Két szám

(n = 2)

esetén ez mindig pozitív, és jegyezzük meg, hogy ekkor az általános esettel van dolgunk, miután nincsenek egyenlő számok. Ekkor tehát az a) állítás az igaz.
Pozitív a kifejezés

2

-nél nagyobb

n

-re is, ha

c

elég nagy (de

1

-nél kisebb), pl.

c = \frac{2}{3}

. Ha viszont

c

kicsi, pl.

c = \frac{1}{4 (n - 1)}

, (és

n ⩾ 3

), akkor a zárójelben levő kifejezés

\begin{matrix} n - \frac{11}{4} - \frac{1}{64 (n - 1)} \geq n - \frac{353}{128} \geq \frac{384 - 353}{128} > 0. \end{matrix}

Ekkor tehát a harmadik hatványközép a nagyobb.
Azt nyertük tehát, a feladatban feltettnél általánosabb kérdésre adva választ, hogy

2

-nél több szám esetén mindig a

c)

állítás az igaz.
Megjegyzések. 1. A harmadik hatványközép lehet csupa különböző szám esetén is nagyobb a különös középnél. Három szám esetén pl. ‐ kényelem kedvéért egész számokra szorítkozva ‐ legyen két szám a

23

és a

25

. Azt vehetjük észre, hogy a harmadik számot

29

és

36

közt választva a harmadik hatványközép lesz a nagyobb, viszont

28

-at vagy

37

-et választva már a különös közép a nagyobb.
2. Meglepő eredményt kapunk, ha azt vizsgáljuk, hogy három szám esetén a harmadik hatványközép és a különös közép hányadosa mekkora lehet. Ez a hányados a maximumát az

1

1

\sqrt[]{2}

hármasra (és az ezzel arányosakra) veszi fel; a maximum értéke mindössze

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{24 + 17 \sqrt[]{2}}{48}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} (1 + \sqrt[]{\frac{578}{576}}}) = 1, 00028902. \end{matrix}