|
Feladat: |
1992. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Boda Péter , Csörnyei Marianna , Faragó Gergely , Imreh Csanád , Kóczy László , Molnár-Sáska Gábor , Németh Ákos , Pham Minh Tuan , Szeredi Tibor , Tichler Krisztián , Újváry-Menyhárt Zoltán , Valkó Benedek |
Füzet: |
1993/február,
51 - 52. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Hatványközép, Középértékek, Egyenlőtlenségek, Azonosságok, Szélsőérték-feladatok, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/február: 1992. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek az adott pozitív számok . Tudjuk, hogy két pozitív szám közül a köbe a nagyobbnak lesz nagyobb és hasonló áll a pozitív számszorosukra is. A két közép különbsége tehát ugyanolyan előjelű, mint a köbeik különbségének -szorosa. Erre a kifejezésre esetén egyszerű átalakításokkal a következő azonosságot nyerjük: | | Ha tehát , akkor a különbség , a két közép egyenlő, különben a jobb oldal két tényezője egyező előjelű, így szorzatuk pozitív; a különös közép tehát nagyobb a harmadik hatványközépnél. Eszerint két szám esetén az a) állítás igaz. Három szám esetén viszont a állítás az igaz. Ennek igazolására elég megadni egyrészt három olyan számot, amelyek különös közepe nagyobb harmadik hatványközepüknél, másrészt három olyant, amelyekre a különös közép a kisebb. Az előbbi tulajdonságú az , , hármas. Erre | | Az utóbbira példa a , , hármas. Erre | | Ezzel igazoltuk az állítást. Megjegyzés. Volt, aki három olyan számtól remélte, hogy a harmadik hatványközepük lesz a nagyobb, amelyek közt kicsi, egyenlő különbség van. Ez azonban nem következik be. Ha a három szám , , , ahol , akkor a különös közép | | a harmadik hatványközép köbe pedig | | Mivel az előbbi érték köbe ezzel a két taggal kezdődik, és ehhez további két pozitív tag járul, így az ilyen számhármasoknak mindig a különös közepe nagyobb. II. megoldás. Jegyezzük meg először, hogy ha a közepek nagyságviszonyát vizsgáljuk, akkor megszorozhatjuk mindegyik számot ugyanazzal a pozitív számmal, hiszen ekkor a két közép is ezzel a számmal szorzódik meg, nagyságviszonyuk tehát nem változik. Így feltehetjük, hogy a számok számtani közepe , mert ha nem így volna, akkor eloszthatjuk mindegyiket a számtani középpel. Vizsgáljuk a két közép viszonyát olyan számokra, amelyek közül egyenlő és kisebb mint , tehát , ahol , az -edik pedig . Az első megoldás megjegyzésének megfelelően elég a közepek köbének a különbségét vizsgálni. Ez | | | | | |
Két szám esetén ez mindig pozitív, és jegyezzük meg, hogy ekkor az általános esettel van dolgunk, miután nincsenek egyenlő számok. Ekkor tehát az a) állítás az igaz. Pozitív a kifejezés -nél nagyobb -re is, ha elég nagy (de -nél kisebb), pl. . Ha viszont kicsi, pl. , (és ), akkor a zárójelben levő kifejezés | | Ekkor tehát a harmadik hatványközép a nagyobb. Azt nyertük tehát, a feladatban feltettnél általánosabb kérdésre adva választ, hogy -nél több szám esetén mindig a állítás az igaz. Megjegyzések. 1. A harmadik hatványközép lehet csupa különböző szám esetén is nagyobb a különös középnél. Három szám esetén pl. ‐ kényelem kedvéért egész számokra szorítkozva ‐ legyen két szám a és a . Azt vehetjük észre, hogy a harmadik számot és közt választva a harmadik hatványközép lesz a nagyobb, viszont -at vagy -et választva már a különös közép a nagyobb. 2. Meglepő eredményt kapunk, ha azt vizsgáljuk, hogy három szám esetén a harmadik hatványközép és a különös közép hányadosa mekkora lehet. Ez a hányados a maximumát az , , hármasra (és az ezzel arányosakra) veszi fel; a maximum értéke mindössze | |
|
|