Feladat: 1992. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Boda Péter ,  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Imreh Csanád ,  Kóczy László ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Németh Ákos ,  Pham Minh Tuan ,  Szeredi Tibor ,  Tichler Krisztián ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/február, 51 - 52. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hatványközép, Középértékek, Egyenlőtlenségek, Azonosságok, Szélsőérték-feladatok, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/február: 1992. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

Nevezzük n adott pozitív szám különös közepének a számok négyzetösszegének és összegének hányadosát, harmadik hatványközepüknek pedig köbeik számtani közepének a köbgyökét. Döntsük el n=2 esetén, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül.
a) A különös közép sohasem kisebb a harmadik hatványközépnél.
b) A különös közép sohasem nagyobb a harmadik hatványközépnél.
c) A különös közép a számok választásától függően lehet nagyobb és kisebb is a harmadik hatványközépnél.
Melyik állítás igaz n=3 esetén?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az adott pozitív számok a1,a2...,an. Tudjuk, hogy két pozitív szám közül a köbe a nagyobbnak lesz nagyobb és hasonló áll a pozitív számszorosukra is. A két közép különbsége tehát ugyanolyan előjelű, mint a köbeik különbségének n(a1+a2+...+an)3-szorosa.
Erre a kifejezésre n=2 esetén egyszerű átalakításokkal a következő azonosságot nyerjük:

2(a12+a22)3-(a1+a2)3(a13+a23)=(a1+a2)3(a13-a23).
Ha tehát a1=a2, akkor a különbség 0, a két közép egyenlő, különben a jobb oldal két tényezője egyező előjelű, így szorzatuk pozitív; a különös közép tehát nagyobb a harmadik hatványközépnél. Eszerint két szám esetén az a) állítás igaz.
Három szám esetén viszont a c) állítás az igaz. Ennek igazolására elég megadni egyrészt három olyan számot, amelyek különös közepe nagyobb harmadik hatványközepüknél, másrészt három olyant, amelyekre a különös közép a kisebb. Az előbbi tulajdonságú az 1, 1, 2 hármas. Erre
3(12+12+22)3=648,(1+1+2)3(13+13+23)=640.
Az utóbbira példa a 2, 2, 3 hármas. Erre
3(22+22+32)3=14739,(2+2+3)3(23+23+33)=14749.
Ezzel igazoltuk az állítást.
Megjegyzés. Volt, aki három olyan számtól remélte, hogy a harmadik hatványközepük lesz a nagyobb, amelyek közt kicsi, egyenlő különbség van. Ez azonban nem következik be. Ha a három szám a-b, a, a+b, ahol 0<b<a, akkor a különös közép
(a-b)2+a2+(a+b)23a=a+2b23a,
a harmadik hatványközép köbe pedig
(a-b)3+a3+(a+b)33=a3+2ab2.
Mivel az előbbi érték köbe ezzel a két taggal kezdődik, és ehhez további két pozitív tag járul, így az ilyen számhármasoknak mindig a különös közepe nagyobb.
 

II. megoldás. Jegyezzük meg először, hogy ha a közepek nagyságviszonyát vizsgáljuk, akkor megszorozhatjuk mindegyik számot ugyanazzal a pozitív számmal, hiszen ekkor a két közép is ezzel a számmal szorzódik meg, nagyságviszonyuk tehát nem változik. Így feltehetjük, hogy a számok számtani közepe 1, mert ha nem így volna, akkor eloszthatjuk mindegyiket a számtani középpel.
Vizsgáljuk a két közép viszonyát olyan számokra, amelyek közül n-1 egyenlő és kisebb mint 1, tehát 1-c, ahol 0<c<1, az n -edik pedig 1+(n-1)c. Az első megoldás megjegyzésének megfelelően elég a közepek köbének a különbségét vizsgálni. Ez
(n+n(n-1)c2n)3-n+3((n-1)+(n-1)2)c2+(-(n-1)+(n-1)3)c3n=
=1+3(n-1)c2+3(n-1)2c4+(n-1)3c6-1-3(n-1)c2-(n-1)(n-2)c3=
=-(n-1)c3(n-2-3(n-1)c-(n-1)2c3).

Két szám (n=2) esetén ez mindig pozitív, és jegyezzük meg, hogy ekkor az általános esettel van dolgunk, miután nincsenek egyenlő számok. Ekkor tehát az a) állítás az igaz.
Pozitív a kifejezés 2-nél nagyobb n-re is, ha c elég nagy (de 1-nél kisebb), pl. c=23. Ha viszont c kicsi, pl. c=14(n-1), (és n3), akkor a zárójelben levő kifejezés
n-114-164(n-1)n-353128384-353128>0.
Ekkor tehát a harmadik hatványközép a nagyobb.
Azt nyertük tehát, a feladatban feltettnél általánosabb kérdésre adva választ, hogy 2-nél több szám esetén mindig a c) állítás az igaz.
Megjegyzések. 1. A harmadik hatványközép lehet csupa különböző szám esetén is nagyobb a különös középnél. Három szám esetén pl. ‐ kényelem kedvéért egész számokra szorítkozva ‐ legyen két szám a 23 és a 25. Azt vehetjük észre, hogy a harmadik számot 29 és 36 közt választva a harmadik hatványközép lesz a nagyobb, viszont 28-at vagy 37-et választva már a különös közép a nagyobb.
2. Meglepő eredményt kapunk, ha azt vizsgáljuk, hogy három szám esetén a harmadik hatványközép és a különös közép hányadosa mekkora lehet. Ez a hányados a maximumát az 1, 1, 2 hármasra (és az ezzel arányosakra) veszi fel; a maximum értéke mindössze
24+172483=12(1+5785763)=1,00028902.