Feladat: 1970. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bajmóczy Ervin ,  Füredi Zoltán ,  Kóczy László ,  Martoni Viktor ,  Ruzsa Imre 
Füzet: 1971/május, 195 - 197. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Kombinációk, Binomiális együtthatók, Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: 1970. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

Mi a valószínűsége annak, hogy egy lottóhúzás öt száma között van legalább két szomszédos (amelyek különbsége 1)?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelölje p a kérdezett valószínűséget, k pedig az első 90 számból kiválasztható azon számötösök számát, melyekben nincsen két szomszédos. Mivel az összes lehetséges lottóhúzások száma (905), azért

p=1-k(905),
így tulajdonképpen a k szám meghatározása a feladat.
Tekintsünk egy olyan
1a<b<c<d<e90
számötöst, melyben nincs két szomszédos azám. Ekkor az
a,b-1,c-2,d-3,e-4
számötös számai különbözők, és 1 és 86 közé esnek. Megfordítva, minden
1a'<b'<c'<d'<e'86
számötös esetén
a',b'+1,c'+2,d'+3,e'+4
olyan számötös, melynek mindegyik eleme 1 és 90 közé esik, és nem tartalmaz szomszédos számokat. Így k egyenlő az első 86 számból kiválasztható számötösök számával, vagyis
k=(865).
Innen
p=1-(865)(905)=1-86858483829089888786=0,2...
 
II. Megoldás. Az előző megoldásban talált k számot más ötlettel is meghatározhatjuk. Tekintsünk egy sorban 90 egyforma golyót, egy kicsit ferde vályúban és emeljük ki az a-adikat, b-ediket, c-ediket, d-ediket és e-ediket, ahol a, b, c, d, e egy olyan lottószámötös, amely nem tartalmaz szomszédos egészeket. A visszamaradó golyók összegurulnak, és egy 85 golyóból álló láncot alkotnak. k mármost annak számát jelenti, ahányféleképpen 5 nem szomszédos golyót a 90-ből ki lehet emelni; vagyis, megfordítva, ahányféleképpen a 85 golyóból álló láncba 5 golyót be tudunk iktatni úgy, hogy ne legyen közöttük két szomszédos. Egy ilyen ,,beiktatást'' azzal jellemezhetünk, hogy megmondjuk, a lánc 86 ,,golyóköze'' közül melyik 5-öt választjuk ki (a lánc eleje és vége is ,,köz''-nek számít, ezért 86 a számuk). Vagyis
k=(865).

Megjegyzések. 1. Ha n számból m-et húzunk, akkor annak a valószínűsége, hogy a kihúzott számok között van legalább két szomszédos:
1-(n-m+1m)(nm).

2. Az első megoldás gondolatmenete segítségével az is belátható (ez az általánosítás Ruzsa Imre dolgozatában szerepelt), hogy ha megadunk c1, c2,...,cm-1 természetes számokat, akkor annak a valószínűsége, hogy az első n természetes számból kihúzott 1a1<...<amn szám-m-esre
a2-a1>c1,a3-a2>c2,...,am-am-1>cm-1
álljon fenn, éppen
(n-c1-c2-...-cm-1m)(nm).
Ennek belátásához azt jegyezzük meg, hogy ha (a1,...,am) ilyen szám-m-es, akkor
1a1<a2-c1<a3-c1-c2<...<am-c1-c2-...-cm-1n-c1-...-cm-1,
és viszont.
3. A magyar lottóhúzások 1957-től 1971. március végéig lefolyt 738 húzása közül 146-ban fordult elő a vizsgált számszomszédosság, éspedig a számötösöket növekvően rendezve az 1. és 2. helyen álló számok között 39 esetben, a további szomszédos helyek között rendre 27, 41, 39 esetben.