Kezdőlap


Feladat:	1970. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Füredi Zoltán , Kóczy László , Martoni Viktor , Ruzsa Imre
Füzet:	1971/május, 195 - 197. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Kombinációk, Binomiális együtthatók, Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: 1970. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelölje $p$ a kérdezett valószínűséget, $k$ pedig az első $90$ számból kiválasztható azon számötösök számát, melyekben nincsen két szomszédos. Mivel az összes lehetséges lottóhúzások száma $(\binom{90}{5})$ , azért

\begin{matrix} p = 1 - \frac{k}{(\binom{90}{5})}, \end{matrix}

így tulajdonképpen a

k

szám meghatározása a feladat.
Tekintsünk egy olyan

\begin{matrix} 1 \leq a < b < c < d < e \leq 90 \end{matrix}

számötöst, melyben nincs két szomszédos azám. Ekkor az

\begin{matrix} a, b - 1, c - 2, d - 3, e - 4 \end{matrix}

számötös számai különbözők, és

1

és

86

közé esnek. Megfordítva, minden

\begin{matrix} 1 \leq a' < b' < c' < d' < e' \leq 86 \end{matrix}

számötös esetén

\begin{matrix} a', b' + 1, c' + 2, d' + 3, e' + 4 \end{matrix}

olyan számötös, melynek mindegyik eleme

1

és

90

közé esik, és nem tartalmaz szomszédos számokat. Így

k

egyenlő az első

86

számból kiválasztható számötösök számával, vagyis

\begin{matrix} k = (\binom{86}{5}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} p = 1 - \frac{(\binom{86}{5})}{(\binom{90}{5})} = 1 - \frac{86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86} = 0, 2 ... \end{matrix}

II. Megoldás. Az előző megoldásban talált

k

számot más ötlettel is meghatározhatjuk. Tekintsünk egy sorban 90 egyforma golyót, egy kicsit ferde vályúban és emeljük ki az

a

-adikat,

b

-ediket,

c

-ediket,

d

-ediket és

e

-ediket, ahol

a

b

c

d

e

egy olyan lottószámötös, amely nem tartalmaz szomszédos egészeket. A visszamaradó golyók összegurulnak, és egy 85 golyóból álló láncot alkotnak.

k

mármost annak számát jelenti, ahányféleképpen 5 nem szomszédos golyót a 90-ből ki lehet emelni; vagyis, megfordítva, ahányféleképpen a 85 golyóból álló láncba 5 golyót be tudunk iktatni úgy, hogy ne legyen közöttük két szomszédos. Egy ilyen ,,beiktatást'' azzal jellemezhetünk, hogy megmondjuk, a lánc 86 ,,golyóköze'' közül melyik 5-öt választjuk ki (a lánc eleje és vége is ,,köz''-nek számít, ezért 86 a számuk). Vagyis

\begin{matrix} k = (\binom{86}{5}) . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Ha

n

számból

m

-et húzunk, akkor annak a valószínűsége, hogy a kihúzott számok között van legalább két szomszédos:

\begin{matrix} 1 - \frac{(\binom{n - m + 1}{m})}{(\binom{n}{m})} . \end{matrix}

2. Az első megoldás gondolatmenete segítségével az is belátható (ez az általánosítás Ruzsa Imre dolgozatában szerepelt), hogy ha megadunk

c_{1}

c_{2}, ..., c_{m - 1}

természetes számokat, akkor annak a valószínűsége, hogy az első

n

természetes számból kihúzott

1 \leq a_{1} < ... < a_{m} \leq n

szám-

m

-esre

\begin{matrix} a_{2} - a_{1} > c_{1}, a_{3} - a_{2} > c_{2}, ..., a_{m} - a_{m - 1} > c_{m - 1} \end{matrix}

álljon fenn, éppen

\begin{matrix} \frac{(\binom{n - c_{1} - c_{2} - ... - c_{m - 1}}{m})}{(\binom{n}{m})} . \end{matrix}

Ennek belátásához azt jegyezzük meg, hogy ha

(a_{1}, ..., a_{m})

ilyen szám-

m

-es, akkor

\begin{matrix} 1 \leq a_{1} < a_{2} - c_{1} < a_{3} - c_{1} - c_{2} < ... < a_{m} - c_{1} - c_{2} - ... - c_{m - 1} \leq n - c_{1} - ... - c_{m - 1}, \end{matrix}

és viszont.
3. A magyar lottóhúzások 1957-től 1971. március végéig lefolyt 738 húzása közül 146-ban fordult elő a vizsgált számszomszédosság, éspedig a számötösöket növekvően rendezve az 1. és 2. helyen álló számok között 39 esetben, a további szomszédos helyek között rendre 27, 41, 39 esetben.