Feladat: 1970. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bajmóczy Ervin ,  Füredi Zoltán ,  Kóczy László ,  Martoni Viktor ,  Ruzsa Imre 
Füzet: 1971/május, 193 - 195. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb sokszögek geometriája, Geometriai egyenlőtlenségek, Oszthatóság, Egészrész, törtrész függvények, Alakzatok súlypontja (tömegközéppontja), Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Maradékos osztás, Tengelyes tükrözés, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: 1970. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

Legfeljebb hány hegyesszöge lehet egy (önmagát nem metsző) síkbeli n-szögnek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje k a sokszög hegyesszögeinek számát. Mivel minden hegyesszög kisebb, mint 90, a hegyesszögek összege kisebb, mint k90. A többi n-k szögről csak annyit tudunk, hogy kisebbek, mint 360, így összegük kisebb, mint (n-k)360. Így az n-szög szögösszege kisebb, mint

k90+(n-k)360=n360-k270.
Másrészről azonban az n-szög szögeinek összege (n-2)180, tehát
(n-2)180<n360-k270,
ahonnan rendezés és 90-kal való osztás után
3k2n+4
adódik. Mivel mindkét oldalon egész szám áll,
3k2n+3,
és így
k2n3+1.
Így azt kaptuk, hogy egy síkbeli n-szögnek legfeljebb
[2n3]+1
hegyesszöge lehet (a szögletes zárójel, mint szokásos, a szám egész részét jelöli).
Hozzátartozik még a feladathoz annak megmutatása, hogy ez a korlát el is érhető; más szóval, olyan n-szöget kell konstruálnunk, melyben a hegyesszögek száma pontosan [2n3]+1.
Foglalkozzunk először azzal az esettel, amikor n3-mal osztható, vagyis n=3r. Ekkor [2n3]+1=2r+1.
 
 

1. ábra
 

Tekintsünk egy 60-os körcikket, legyen a körív két végpontja A és B, a körcikk csúcsa P, és osszuk az AB ívet a C1, C2,...,C2r-2 pontokkal 2r-1 egyenlő részre. Jelölje Si a C2i-1PC2i háromszög súlypontját (i=1,...,r-1). Húzzunk Si-n át párhuzamost PC2i-1-gyel, és messe ez a C2i-2C2i-1 egyenest D2i-1-ben, C0-on A-t értve. Hasonlóképpen legyen D2i a PC2i-vel párhuzamos, Si-n áthaladó egyenesnek és C2iC2i+1-nek metszéspontja, C2r-1-en B-t értve (1. ábra). Tekintsük mármost a következő sokszöget:
Σ=PAD1S1D2D3S2D4...D2i-1SiD2iD2i+1Si+1...D2r-3Sr-1D2r-2BP
(2. ábra). Ennek nyilván 3r csúcsa van és 2r+1 hegyesszöge a P, A, D1, D2,...,D2r-2, B csúcsok mindegyikénél hegyesszöge van. Ugyanis az APB szög 60, a PAD1 szög a PAC1 egyenlő szárú háromszög alapján fekvő szögek egyike, tehát hegyesszög, az AD1S1 szög pedig ezzel egyenlő, hiszen AD1S1 és AC1P párhuzamos szárú szögek. A többi felsorolt szögről hasonlóan látható be, hogy hegyesszögek.
 
 

2. ábra
 

Másodszor azzal az esettel foglalkozunk, amikor n3-mal osztva 1-et ad maradékul, vagyis n=3r+1. Ekkor [2n3]+1=2r+1. Az előzőek szerint tudunk olyan 3r-szöget szerkeszteni, melynek 2r+1 hegyesszöge van. Tekintsük az előzőekben megszerkesztett Σ sokszöget, és az AP oldal felező merőlegesén válasszunk egy olyan Q pontot, mely benne van a PAC1 háromszögben. Ekkor QAC1<PAC1 és QPB<APB, tehát hegyesszögek, így a Σ sokszög AP oldalát az AQP töröttvonallal helyettesítve olyan Σ' (3r+1)-szöget kapunk, melyben 2r+1 hegyesszög van (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Végül tekintsük az n=3r+2 esetet. Tekintsük ismét a 3r csúcsú Σ sokszöget. Legyen PA, ill. PB(P-hez közelebbi) harmadolópontja Q1, ill. Q2, és P-nek Q1Q2-re való tükörképe P1. Ekkor a Σ sokszög AP, PB oldalait az AQ1P1Q2B töröttvonallal helyettesítve olyan Σ'' sokszöget kapunk, melynek 3r+2 csúcsa és 2r+2=[2n3]+1 hegyesszöge van, hiszen a P helyett fellépő három csúcs közül kettőben, Q1-ben és Q2-ben 60-os, vagyis hegyesszög van (4. ábra).
 
 

4. ábra
 

 
Megjegyzések. 1. Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy a Σ, Σ', Σ'' sokszögek nem metszik át önmagukat.
2. Számos más módon is konstruálható n szögpontú, [2n3]+1 hegyesszöggel rendelkező sokszög. Több versenyző teljes indukcióval definiálta ezeket, n-ről n+3-ra lépve (ekkor n=3, 4, 5 esetére meg kell adni egy-egy példát, ami nyilvánvaló). A legtöbb megoldásban Σ a fentihez hasonlóan volt megalkotva, de belőle Σ'-t és Σ''-t már igen sok különböző módon készítették el a versenyzők.
3. Több versenyző megjegyezte, hogy ha csak konvex sokszögekre szorítkoznánk, a hegyesszögek maximális száma 3 volna.