Megoldás. Jelölje $k$ a sokszög hegyesszögeinek számát. Mivel minden hegyesszög kisebb, mint ${90}^{\circ }$, a hegyesszögek összege kisebb, mint $k\cdot {90}^{\circ }$. A többi $n-k$ szögről csak annyit tudunk, hogy kisebbek, mint ${360}^{\circ }$, így összegük kisebb, mint $\left(n-k\right)\cdot {360}^{\circ }$. Így az $n$-szög szögösszege kisebb, mint

n3-mal osztható, vagyis $n=3r$. Ekkor $\left[\frac{2n}{3}\right]+1=2r+1$.

 

 

1. ábra

 

Tekintsünk egy ${60}^{\circ }$-os körcikket, legyen a körív két végpontja $A$ és $B$, a körcikk csúcsa $P$, és osszuk az $AB$ ívet a $C_1$, $C_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{C}_{2r-2}$ pontokkal $2r-1$ egyenlő részre. Jelölje $S_i$ a $C_{2i-1}P{C}_{2i}$ háromszög súlypontját $\left(i=\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}r-1\right)$. Húzzunk $S_i$-n át párhuzamost $P{C}_{2i-1}$-gyel, és messe ez a $C_{2i-2}{C}_{2i-1}$ egyenest $D_{2i-1}$-ben, $C_0$-on $A$-t értve. Hasonlóképpen legyen $D_{2i}$ a $P{C}_{2i}$-vel párhuzamos, $S_i$-n áthaladó egyenesnek és $C_{2i}{C}_{2i+1}$-nek metszéspontja, $C_{2r-1}$-en $B$-t értve (1. ábra). Tekintsük mármost a következő sokszöget:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \Sigma =PA{D}_1{S}_1{D}_2{D}_3{S}_2{D}_4\text{...}{D}_{2i-1}{S}_i{D}_{2i}{D}_{2i+1}{S}_{i+1}\text{...}{D}_{2r-3}{S}_{r-1}{D}_{2r-2}BP}\end{array}$

(2. ábra). Ennek nyilván $3r$ csúcsa van és $2r+1$ hegyesszöge a $P$, $A$, $D_1$, $D_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{D}_{2r-2}$, $B$ csúcsok mindegyikénél hegyesszöge van. Ugyanis az $APB$ szög ${60}^{\circ }$, a $PA{D}_1$ szög a $PA{C}_1$ egyenlő szárú háromszög alapján fekvő szögek egyike, tehát hegyesszög, az $A{D}_1{S}_1$ szög pedig ezzel egyenlő, hiszen $A{D}_1{S}_1$ és $A{C}_{1}P$ párhuzamos szárú szögek. A többi felsorolt szögről hasonlóan látható be, hogy hegyesszögek.

 

 

2. ábra

 

Másodszor azzal az esettel foglalkozunk, amikor