Feladat: N.125 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Frenkel Péter ,  Juhász András ,  Kun Gábor ,  Lippner Gábor ,  Mátrai Tamás ,  Pap Gyula ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás 
Füzet: 1997/május, 293 - 294. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvény határértéke, Függvények folytonossága, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/január: N.125

Az f:RR függvény folytonos, és tetszőleges pozitív a valós számra az f(a), f(2a), f(3a), ... sorozat 0-hoz tart. Bizonyítsuk be, hogy limxf(x)=0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy limxf(x)0. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan ε>0 valós szám és x1, x2, ... végtelenhez tartó sorozat, amelyre |f(xn)|>ε. Az f függvény folytonossága miatt minden n-re létezik olyan δn>0, hogy az In=[xn-δn;xn+δn] intervallumban |f(x)|>ε.
A továbbiakban tetszőleges p pozitív valós számra és I=[u,v] intervallumra jelölje pI a [pa;pb] intervallumot.
Definiálunk egy nem üres, nem csak egy pontból álló, zárt intervallumokból álló J1J2J3... és egy pozitív egészekből álló k1, k2, ... sorozatot, amelyekre ki és minden i-re kiJi részhalmaza valamelyik In-nek.
Legyen J1=I1 és k1=1; ezekre az állítás teljesül. Tegyük fel, hogy Jm-et már definiáltuk; legyen Jm=[c,d]. Most definiáljuk Jm+1-et és km+1-et.
Tekintsük a Jm, 2Jm, 3Jm, ... intervallumokat. Ha k>dd-c, akkor kc<(k-1)d, vagyis a (k-1)Jm és kJm intervallumok egymásba érnek. Ezért ezek az intervallumok lefedik a teljes [cdd-c;) félegyenest úgy, hogy a félegyenes minden belső pontja valamelyik kJm-nek is belső pontja.
Legyen n olyan pozitív egész, amelyre xn>max(md,cdd-c). Ilyen létezik, mert xn. Legyen km+1 olyan pozitív egész, amelyre xn belső pontja km+1Jm-nek. Ilyen létezik, mert xn belső pontja a félegyenesnek. Az xn>md feltétel miatt a Jm, 2Jm, ..., mJm intervallumok nem tartalmazhatják xn-et, tehát km+1m+1. Végül legyen Jm+1=Jm1km+1In. Ez az intervallum nem üres, és nem állhat csak egy pontból, mert xnkm+1 belső pontja Jm-nek és 1km+1In-nek is. A JmJm+1 tartalmazás is teljesül, továbbá km+1Jm+1In. Ezzel a J1, J2, ... és a k1, k2, ... sorozatok definíciója kész. A definícióból látható, hogy knn, ezért kn.
A Cantor-axióma szerint a J1, J2, ... intervallumoknak van közös eleme. Legyen a egy közös elem. Mivel tetszőleges m pozitív egészre aJm, kmakmJm, azért kma eleme valamelyik In-nek, következésképpen |f(kma)|>ε. Mivel km, ez ellentmond az f(na)0 feltételnek.