Kezdőlap


Feladat:	N.125	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Frenkel Péter , Juhász András , Kun Gábor , Lippner Gábor , Mátrai Tamás , Pap Gyula , Terék Zsolt , Terpai Tamás
Füzet:	1997/május, 293 - 294. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvény határértéke, Függvények folytonossága, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: N.125

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy ${lim}_{}^{}_{x \to \infty}^{} f (x) \neq 0$ . Ez azt jelenti, hogy létezik olyan $ε > 0$ valós szám és $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ végtelenhez tartó sorozat, amelyre $| f (x_{n}) | > ε$ . Az $f$ függvény folytonossága miatt minden $n$ -re létezik olyan $δ_{n} > 0$ , hogy az $I_{n} = [x_{n} - δ_{n}; x_{n} + δ_{n}]$ intervallumban $| f (x) | > ε$ .
A továbbiakban tetszőleges $p$ pozitív valós számra és $I = [u, v]$ intervallumra jelölje $p I$ a $[p a; p b]$ intervallumot.
Definiálunk egy nem üres, nem csak egy pontból álló, zárt intervallumokból álló $J_{1} \supset J_{2} \supset J_{3} \supset ...$ és egy pozitív egészekből álló $k_{1}$ , $k_{2}$ , $...$ sorozatot, amelyekre $k_{i} \to \infty$ és minden $i$ -re $k_{i} J_{i}$ részhalmaza valamelyik $I_{n}$ -nek.
Legyen $J_{1} = I_{1}$ és $k_{1} = 1$ ; ezekre az állítás teljesül. Tegyük fel, hogy $J_{m}$ -et már definiáltuk; legyen $J_{m} = [c, d]$ . Most definiáljuk $J_{m + 1}$ -et és $k_{m + 1}$ -et.
Tekintsük a $J_{m}$ , $2 J_{m}$ , $3 J_{m}$ , $...$ intervallumokat. Ha $k > \frac{d}{d - c}$ , akkor $k c < (k - 1) d$ , vagyis a $(k - 1) J_{m}$ és $k J_{m}$ intervallumok egymásba érnek. Ezért ezek az intervallumok lefedik a teljes $[\frac{c d}{d - c}; \infty)$ félegyenest úgy, hogy a félegyenes minden belső pontja valamelyik $k J_{m}$ -nek is belső pontja.
Legyen $n$ olyan pozitív egész, amelyre $x_{n} > {max}_{}^{} (m d, \frac{c d}{d - c})$ . Ilyen létezik, mert $x_{n} \to \infty$ . Legyen $k_{m + 1}$ olyan pozitív egész, amelyre $x_{n}$ belső pontja $k_{m + 1} J_{m}$ -nek. Ilyen létezik, mert $x_{n}$ belső pontja a félegyenesnek. Az $x_{n} > m d$ feltétel miatt a $J_{m}$ , $2 J_{m}$ , $...$ , $m J_{m}$ intervallumok nem tartalmazhatják $x_{n}$ -et, tehát $k_{m + 1} \geq m + 1$ . Végül legyen $J_{m + 1} = J_{m} \cap \frac{1}{k_{m} + 1} I_{n}$ . Ez az intervallum nem üres, és nem állhat csak egy pontból, mert $\frac{x_{n}}{k_{m + 1}}$ belső pontja $J_{m}$ -nek és $\frac{1}{k_{m + 1}} I_{n}$ -nek is. A $J_{m} \supset J_{m + 1}$ tartalmazás is teljesül, továbbá $k_{m + 1} J_{m + 1} \subset I_{n}$ . Ezzel a $J_{1}$ , $J_{2}$ , $...$ és a $k_{1}$ , $k_{2}$ , $...$ sorozatok definíciója kész. A definícióból látható, hogy $k_{n} \geq n$ , ezért $k_{n} \to \infty$ .
A Cantor-axióma szerint a $J_{1}$ , $J_{2}$ , $...$ intervallumoknak van közös eleme. Legyen $a$ egy közös elem. Mivel tetszőleges $m$ pozitív egészre $a \in J_{m}$ , $k_{m} a \in k_{m} J_{m}$ , azért $k_{m} a$ eleme valamelyik $I_{n}$ -nek, következésképpen $| f (k_{m} a) | > ε$ . Mivel $k_{m} \to \infty$ , ez ellentmond az $f (n a) \to 0$ feltételnek.