Feladat: Gy.3103 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Attila ,  Benedek Csaba ,  Besenyei Ádám ,  Csirmaz Előd ,  Deli Lajos ,  Devecsery András ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Horváth András ,  Horváth György ,  Kiss Gergely ,  Mecz Balázs ,  Nagy Máté ,  Naszódi Gergely ,  Papp Dávid ,  Poronyi Gábor ,  Pozsonyi Gergő ,  Somogyi Tamás ,  Szalontay Mihály ,  Terpai Tamás ,  Török Máté ,  Ureczky Judit ,  Várkonyi Dániel ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1997/május, 286. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számsorozatok, Indirekt bizonyítási mód, Skatulyaelv, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/január: Gy.3103

Bizonyítsuk be, hogy ha a1, a2, ..., a29 egy egész számokból álló szigorúan monoton növő sorozat, és ak+7-ak13 minden 1k22 egészre, akkor található olyan i és j index, amelyre ai-aj=4.
 
Dél-afrikai versenyfeladat


Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben semmilyen i, j indexre sem teljesül, hogy ai-aj=4. Az általánosítás megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a1=1, mert az a1, a2, ..., a29 sorozat helyett tekinthetjük az 1, a2-(a1-1), ..., a29-(a1-1) sorozatot.
Mivel a1=1, és ak+7-ak13, azért a814, a1527, a2240, végül a2953. Tehát az a1, ..., a29 sorozat 29 különböző egész szám az [1,53] intervallumból.
Legyen most 1i29-re bi=ai+4. Ekkor a bi számok páronként különbözőek, és semmilyen i, j számokra nem teljesül, hogy ai=bi, hiszen ha ai=bi=aj+4, akkor ai-aj=4 lenne.
Tudjuk, hogy a2953, a2852, a2751, a2650, a2549, tehát b2549+4=53. Így az a1, a2, ..., a29, b1, b2, ..., b25  29+25=54 különböző egész szám az [1,53] intervallumból.
Ellentmondásra jutottunk, és ezzel az állítást bebizonyítottuk.