Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben semmilyen $i$, $j$ indexre sem teljesül, hogy $a_i-a_j=4$. Az általánosítás megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $a_1=1$, mert az $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_{29}$ sorozat helyett tekinthetjük az $1$, $a_2-\left(a_1-1\right)$, $\text{...}$, $a_{29}-\left(a_1-1\right)$ sorozatot.
Mivel $a_1=1$, és $a_{k+7}-a_k\le 13$, azért $a_8\le 14$, $a_{15}\le 27$, $a_{22}\le 40$, végül $a_{29}\le 53$. Tehát az $a_1$, $\text{...}$, $a_{29}$ sorozat 29 különböző egész szám az $\left[\mathrm{1,}53\right]$ intervallumból.
Legyen most $1\le i\le 29$-re $b_i=a_i+4$. Ekkor a $b_i$ számok páronként különbözőek, és semmilyen $i$, $j$ számokra nem teljesül, hogy $a_i=b_i$, hiszen ha $a_i=b_i=a_j+4$, akkor $a_i-a_j=4$ lenne.
Tudjuk, hogy $a_{29}\le 53$, $a_{28}\le 52$, $a_{27}\le 51$, $a_{26}\le 50$, $a_{25}\le 49$, tehát $b_{25}\le 49+4=53$. Így az $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_{29}$, $b_1$, $b_2$, $\text{...}$, $b_{25}$  $29+25=54$ különböző egész szám az $\left[\mathrm{1,}53\right]$ intervallumból.
Ellentmondásra jutottunk, és ezzel az állítást bebizonyítottuk.