Feladat: F.3176 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barta Ágnes ,  Blaskó Ádám ,  Czirok Levente ,  Dedinszky Zsófia ,  Forrai Gábor ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Héjjas Péter ,  Jáger Márta ,  Juhász András ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Nagy István ,  Pál András ,  Pintér Dömötör ,  Prohászka Benedek ,  Szalai-Dobos András ,  Szilágyi Judit ,  Szita István ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várkonyi Péter 
Füzet: 1997/december, 547 - 548. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes körhengerek, Köréírt gömb, Terület, felszín, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Harmonikus közép, Kvadratikus közép, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Szélsőérték-feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/április: F.3176

Egy gömbbe írható egyenes körhengerek közül melyik henger esetén lesz a felszín és a térfogat hányadosa a lehető legkisebb?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Legyen a gömb sugara R, a henger alapkörének sugara r, a henger magassága h. Mivel a henger és a gömb középpontja egybeesik, a Pitagorasz-tétel alapján h=2R2-r2, a felszín és a térfogat hányadosa pedig
AV=2πr(h+r)πr2h=2r+2h+2r=1R2-r2.

 
 

Alkalmazzuk a súlyozott harmonikus és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget az r23 és R2-r2 számokra a 43 és 1 súlyokkal:
(43+1)VA=43+14323r+1R2-r244(r23)2+R2-r2243+1=R43+1,
átrendezve
AV(43+1)32R.
A felszín és a térfogat hányadosát sikerült alulról becsülnünk egy, csak a gömb sugarától függő mennyiséggel. Egyenlőség akkor áll fenn, ha ugyanannak a két számnak vettük a közepeit, azaz r23=R2-r2. Ebből r-et kifejezve
r=2343+1Résh=2R2-r2=243+1R.
Ebben az esetben lesz a felszín és a térfogat hányadosa minimális, azaz (43+1)32R.
 
II. megoldás. Legyen f(x)=2x+1R2-x2. Az előző megoldás szerint ennek a függvénynek a minimumát keressük a (0;R) intervallumban. Ezt a derivált előjelének vizsgálatával végezzük.
f'(x)=-2x2+x(R2-x2)32=x3-2(R2-x2)3/2x2(R2-x2)3/2.
A vizsgált intervallumban az utolsó tört nevezője mindig pozitív, a számlálója szigorúan monoton nő. Értéke akkor 0, amikor x3-2(R2-x2)3/2=0, azaz x=2343+1R.
A (0;2343+1R) intervallumban f'<0, és a függvény szigorúan monoton fogy, a (2343+1R;R) intervallumban pedig f'>0, és f szigorúan monoton nő. A függvény minimuma ezért az x=2343+1R pontban van.
 
Megjegyzés. A feladatot deriválással megoldók között típushiba volt, hogy csupán a derivált nullhelyét keresték meg, de egyáltalán nem, vagy rosszul indokolták meg, hogy ott miért minimum van. Az sem teljes megoldás, ha valaki a második derivált előjele alapján csak annyit állapított meg, hogy az adott helyen a függvénynek lokális minimuma van.