|
Feladat: |
F.3176 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Barta Ágnes , Blaskó Ádám , Czirok Levente , Dedinszky Zsófia , Forrai Gábor , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Héjjas Péter , Jáger Márta , Juhász András , Lippner Gábor , Méder Áron , Nagy István , Pál András , Pintér Dömötör , Prohászka Benedek , Szalai-Dobos András , Szilágyi Judit , Szita István , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Várkonyi Péter |
Füzet: |
1997/december,
547 - 548. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenes körhengerek, Köréírt gömb, Terület, felszín, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Harmonikus közép, Kvadratikus közép, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Szélsőérték-feladatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/április: F.3176 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a gömb sugara , a henger alapkörének sugara , a henger magassága . Mivel a henger és a gömb középpontja egybeesik, a Pitagorasz-tétel alapján , a felszín és a térfogat hányadosa pedig | |
Alkalmazzuk a súlyozott harmonikus és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget az és számokra a és 1 súlyokkal: | | átrendezve A felszín és a térfogat hányadosát sikerült alulról becsülnünk egy, csak a gömb sugarától függő mennyiséggel. Egyenlőség akkor áll fenn, ha ugyanannak a két számnak vettük a közepeit, azaz . Ebből -et kifejezve | | Ebben az esetben lesz a felszín és a térfogat hányadosa minimális, azaz .
II. megoldás. Legyen . Az előző megoldás szerint ennek a függvénynek a minimumát keressük a intervallumban. Ezt a derivált előjelének vizsgálatával végezzük. | | A vizsgált intervallumban az utolsó tört nevezője mindig pozitív, a számlálója szigorúan monoton nő. Értéke akkor 0, amikor , azaz . A intervallumban , és a függvény szigorúan monoton fogy, a intervallumban pedig , és szigorúan monoton nő. A függvény minimuma ezért az pontban van.
Megjegyzés. A feladatot deriválással megoldók között típushiba volt, hogy csupán a derivált nullhelyét keresték meg, de egyáltalán nem, vagy rosszul indokolták meg, hogy ott miért minimum van. Az sem teljes megoldás, ha valaki a második derivált előjele alapján csak annyit állapított meg, hogy az adott helyen a függvénynek lokális minimuma van.
|
|