Feladat: F.3159 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Dályay Virág ,  Felföldi Zsolt ,  Forrai Gábor ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Jakabfy Tamás ,  Juhász András ,  Karádi Richárd ,  Katona Zsolt ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Pál András ,  Páles Csaba ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vajda István ,  Várady Gergő ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/október, 416 - 417. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos sokszögek geometriája, Középponti és kerületi szögek, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/január: F.3159

Egy n oldalú szabályos sokszög csúcsai A1, A2, ..., An, a köré írt kör tetszőleges pontja P. Mutassuk meg, hogy a
PA14+PA24+...+PAn4
összeg értéke a P pont választásától független, állandó érték.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehető, hogy a P pont az A1An íven van. Jelöljük a PA1 ívhez tartozó középponti szöget α-val, így a PA2, ..., PAn ívekhez tartozó középponti szögek: α+2πn, ..., α+(n-1)2πn. Ha a kör sugara r, akkor pl. a PA1 húr hossza 2rsinα2. A vizsgált összeget S-sel jelölve:

S=16r4(sin4α2+sin4(α2+πn)+...+sin4(α2+(n-1)πn)).
Felhasználjuk, hogy sin2x=1-cos2x2, így
S=16r4[(1-cosα2)2+(1-cos(α+2πn)2)2+...+(1-cos(α+(n-1)2πn)2)2]==16r4{n4-12[cosα+cos(α+2πn)+...+cos(α+(n-1)2πn)]++14[cos2α+cos2(α+2πn)+...+cos2(α+(n-1)2πn)]}.
Az első szögletes zárójelben lévő összeg a
cosx+cos(x+y)+cos(x+2y)+...+cos(x+ky)=sin(k+1)y2cos(x+ky2)siny2
azonosság szerint 0 (bizonyítását lásd pl. Skljarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből (Tankönyvkiadó, 1967) I. 225.b feladatánál).
A cos2x=1+cos2x2 összefüggést alkalmazva:
S=16r4{n4+n8+18[cos2α+cos(2α+4πn)+...+cos(2α+(n-1)4πn)]},
ahol a szögletes zárójelben az előbb említett azonosság szerint 0 van.
Azt nyertük, hogy S=6nr4, ami valóban független P választásától.
 Gerbicz Róbert (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) és
 
 Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., IV. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Páles Csaba (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn.) az egységnyi sugarú körbe írt n-oldalú szabályos sokszöget úgy helyezte el, hogy a csúcsainak megfelelő komplex számok az n-edik egységgyökök legyenek, a P ponthoz pedig a z komplex számot rendelte. Legyenek az egységgyökök ε1, ε2, ..., εn, ekkor S=|z-ε1|4+|z-ε2|4+...+|z-εn|4, amiből némi számolással S=6n, illetve r sugarú kör esetén S=6nr4.
2. Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn.) megmutatta, hogy a szabályos sokszög O középpontjától d távolságra fekvő tetszőleges P pont esetén a vizsgált összeg csak a d-től függ, tehát az O középpontú, d sugarú kör bármely pontjára is állandó.