Kezdőlap


Feladat:	F.3159	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Dályay Virág , Felföldi Zsolt , Forrai Gábor , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jakabfy Tamás , Juhász András , Karádi Richárd , Katona Zsolt , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy István , Pál András , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Prause István , Rudolf Gábor , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Vajda István , Várady Gergő , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/október, 416 - 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Középponti és kerületi szögek, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: F.3159

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehető, hogy a $P$ pont az $A_{1} A_{n}$ íven van. Jelöljük a $P A_{1}$ ívhez tartozó középponti szöget $α$ -val, így a $P A_{2}$ , $...$ , $P A_{n}$ ívekhez tartozó középponti szögek: $α + \frac{2 π}{n}$ , $...$ , $α + \frac{(n - 1) \cdot 2 π}{n}$ . Ha a kör sugara $r$ , akkor pl. a $P A_{1}$ húr hossza $2 r sin \frac{α}{2}$ . A vizsgált összeget $S$ -sel jelölve:

\begin{matrix} S = 16 r^{4} (sin^{4} \frac{α}{2} + sin^{4} (\frac{α}{2} + \frac{π}{n}) + ... + sin^{4} (\frac{α}{2} + \frac{(n - 1) π}{n})) . \end{matrix}

Felhasználjuk, hogy

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

, így

\begin{matrix} \begin{matrix} S = 16 r^{4} [{(\frac{1 - cos α}{2})}^{2} + {(\frac{1 - cos (α + \frac{2 π}{n})}{2})}^{2} + ... + {(\frac{1 - cos (α + \frac{(n - 1) 2 π}{n})}{2})}^{2}] = \\ = 16 r^{4} {\frac{n}{4} - \frac{1}{2} [cos α + cos (α + \frac{2 π}{n}) + ... + cos (α + \frac{(n - 1) 2 π}{n})] + \\ + \frac{1}{4} [cos^{2} α + cos^{2} (α + \frac{2 π}{n}) + ... + cos^{2} (α + \frac{(n - 1) 2 π}{n})]} . \end{matrix} \end{matrix}

Az első szögletes zárójelben lévő összeg a

\begin{matrix} cos x + cos (x + y) + cos (x + 2 y) + ... + cos (x + k y) = \frac{sin \frac{(k + 1) y}{2} \cdot cos (x + \frac{k y}{2})}{sin \frac{y}{2}} \end{matrix}

azonosság szerint 0 (bizonyítását lásd pl. Skljarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből (Tankönyvkiadó, 1967) I. 225.b feladatánál).
A

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

összefüggést alkalmazva:

\begin{matrix} S = 16 r^{4} {\frac{n}{4} + \frac{n}{8} + \frac{1}{8} [cos 2 α + cos (2 α + \frac{4 π}{n}) + ... + cos (2 α + \frac{(n - 1) 4 π}{n})]}, \end{matrix}

ahol a szögletes zárójelben az előbb említett azonosság szerint 0 van.
Azt nyertük, hogy

S = 6 n \cdot r^{4}

, ami valóban független

P

választásától.

Gerbicz Róbert (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) és

Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzések. 1. Páles Csaba (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn.) az egységnyi sugarú körbe írt

n

-oldalú szabályos sokszöget úgy helyezte el, hogy a csúcsainak megfelelő komplex számok az

n

-edik egységgyökök legyenek, a

P

ponthoz pedig a

z

komplex számot rendelte. Legyenek az egységgyökök

ε_{1}

ε_{2}

...

ε_{n}

, ekkor

S = | z - ε_{1} |^{4} + | z - ε_{2} |^{4} + ... + | z - ε_{n} |^{4}

, amiből némi számolással

S = 6 n

, illetve

r

sugarú kör esetén

S = 6 n \cdot r^{4}

.
2. Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn.) megmutatta, hogy a szabályos sokszög

O

középpontjától

d

távolságra fekvő tetszőleges

P

pont esetén a vizsgált összeg csak a

d

-től függ, tehát az

O

középpontú,

d

sugarú kör bármely pontjára is állandó.