|
Feladat: |
F.3159 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Dályay Virág , Felföldi Zsolt , Forrai Gábor , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jakabfy Tamás , Juhász András , Karádi Richárd , Katona Zsolt , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy István , Pál András , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Prause István , Rudolf Gábor , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Vajda István , Várady Gergő , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1997/október,
416 - 417. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szabályos sokszögek geometriája, Középponti és kerületi szögek, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/január: F.3159 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Feltehető, hogy a pont az íven van. Jelöljük a ívhez tartozó középponti szöget -val, így a , , ívekhez tartozó középponti szögek: , , . Ha a kör sugara , akkor pl. a húr hossza . A vizsgált összeget -sel jelölve: | | Felhasználjuk, hogy , így | | Az első szögletes zárójelben lévő összeg a | | azonosság szerint 0 (bizonyítását lásd pl. Skljarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből (Tankönyvkiadó, 1967) I. 225.b feladatánál). A összefüggést alkalmazva: | | ahol a szögletes zárójelben az előbb említett azonosság szerint 0 van. Azt nyertük, hogy , ami valóban független választásától.
Gerbicz Róbert (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) és |
Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., IV. o.t.) |
Megjegyzések. 1. Páles Csaba (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn.) az egységnyi sugarú körbe írt -oldalú szabályos sokszöget úgy helyezte el, hogy a csúcsainak megfelelő komplex számok az -edik egységgyökök legyenek, a ponthoz pedig a komplex számot rendelte. Legyenek az egységgyökök , , , , ekkor , amiből némi számolással , illetve sugarú kör esetén . 2. Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn.) megmutatta, hogy a szabályos sokszög középpontjától távolságra fekvő tetszőleges pont esetén a vizsgált összeg csak a -től függ, tehát az középpontú, sugarú kör bármely pontjára is állandó.
|
|